Giải : 

Ta có hình vẽ :

a ) Ta có :

+ ) \(AH^2=BH.CH=9.16=144cm^2\)

\(\Rightarrow AH=12cm\)

+ ) \(AB^2=BH.BC=9.25=225cm^2\)

\(\Rightarrow AB=15cm\)

+ ) \(AC^2=CH.BC=16.25=400cm^2\)

\(\Rightarrow AC=20cm\)

b ) Chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật

c  ) Ta có :

+ ) \(HD.AB=HA.HB\)

\(\Rightarrow HD=\frac{HA.HB}{AB}=\frac{12.9}{15}=7,2cm\)

+ ) \(HE.AC=HA.HC\)

\(\Rightarrow HE=\frac{HA.HC}{AC}=\frac{12.16}{20}=9,6cm\)

\(\Rightarrow P\left(ADHE\right)=\left(7,2+9,6\right).2=33,6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S\left(ADHE\right)=7,2\times9,6=69,12\left(cm^2\right)\)

GK=9cm

nên AC=9cm

BC=13,5cm

MN=7cm

nên AB=7cm

\(C_{ABC}=C_{MNP}=C_{GHK}=29,5\left(cm\right)\)

Ta có: ΔABC=ΔDEI(gt)

=> BC=EI=8cm(2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(P_{DEI}=P_{ABC}=AB+AC+BC=5+6+8=19\left(cm\right)\)

(Với P là chu vi)

áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC có AH^2=BH.CH=9.16=144 nên AH=12  , áp dụng định lý pytago vào 2 tam giác ABH ,AHC ta được AB=15,AC=20       ADHE là hình chữ nhật vi có 3 góc=90độ      áp dụng hệ thức lượng ta tính được AD và DH 

\(\widehat{C}=85^0\)

\(\widehat{H}=42^0\)

\(\widehat{A}=\widehat{D}=53^0\)

 c

Tam giác ABC = tam giác DEI

-> Các cạnh tương ứng của hai tam giác đều bằng nhau

mà AB = 5 (cm), AC = 6 (cm), EI = 8(cm)

-> Chu vi tam giác ABC = chu vi tam giác DEI = AB + AC + EI = 5 + 6 + 8 = 19 (cm)

Vậy chu vi hai hình tam giác đó đều bằng 19 cm.

\(\Delta ABC=\Delta DEI\)

\(\Rightarrow AB=DE=5\left(cm\right)\) ( 2 cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow BC=EI=8\left(cm\right)\) ( 2 cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow AC=DI=6\left(cm\right)\) ( 2 cạnh tương ứng )

Chu vi của \(\Delta ABC\) là:

\(AB+BC+CA=5+8+6=19\left(cm\right)\)

Chu vi của \(\Delta DEI\) là:

\(DE+EI+DI=5+8+6=19\left(cm\right)\)

Vậy...........

ta có độ dài AB là : \(\left(17+7\right):2=12cm\)

độ dài AC là : \(12-7=5cm\)

độ dài cạnh BC là : \(BC=\sqrt{12^2+5^2}=13cm\)

Chu vi tam giác ABC là : \(AB+BC+AC=12+5+13=30cm\)

DIện tích tam giác ABC là : \(AB\times\frac{AC}{2}=12\times\frac{5}{2}=30cm^2\)