Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi và

suy ra b và c không đồng thời bằng 0.

)

Vì

Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.

Xét các trường hợp:

1. a, b, a’, b’ ≠ 0

Ta có:

Hệ phương trình vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau:

Áp dụng:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm:

Vì  nên hệ phương trình trên vô nghiệm

Xét các trường hợp:

1. a, b, a’, b’ ≠ 0

Ta có:

Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng cắt nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau:

Áp dụng:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm:

Vì  nên hệ phương trình trên vô nghiệm

Xét các trường hợp:

1. a, b, a’, b’ ≠ 0

Ta có:

Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc và tung độ gốc bằng nhau:

*a = 0, a’ ≠ 0

Vì hai đường thẳng  luôn luôn cắt trục hoành còn đường thẳng y = c/b song song hoặc trùng với trục hoành nên chúng luôn luôn cắt nhau.

Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.

*a = a’ = 0

Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, nghĩa là:

Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau, nghĩa là:

*b = 0, b’ ≠ 0

Vì hai đường thẳng luôn luôn cắt trục tung còn đường thẳng x = c/a song song hoặc trùng với trục tung nên chúng luôn luôn cắt nhau.

Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.

*b = b’ = 0

Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, nghĩa là:

Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau, nghĩa là:

Áp dụng:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm:

Vì  nên hệ phương trình có vô số nghiệm

Đề bài => \(c\ge0\)

Đặt \(t=x+\frac{a+b}{2}\)

=> \(\left(t+\frac{a-b}{2}\right)^4+\left(t-\frac{a-b}{2}\right)^4=c\)

<=> \(2t^4+\frac{6t^2\left(a-b\right)^2}{4}.2+\frac{\left(a-b\right)^4}{8}=c\)

<=> \(2t^4+3t^2\left(a-b\right)^2+\frac{\left(a-b\right)^4}{8}-c=0\left(1\right)\)

Ta có \(\Delta=9\left(a-b\right)^4-\left(a-b\right)^4+8c=8\left(a-b\right)^4+8c\ge0\)

=> \(\left(a-b\right)^4+c\ge0\)luôn đúng \(\forall c\ge0\)

Để PT ban đầu có nghiệm 

thì Pt (1) có ít nhất 1 nghiệm dương

=> \(\frac{-3\left(a-b\right)^2+\sqrt{\left(a-b\right)^4+c}}{4}\ge0\)

=> \(c\ge8\left(a-b\right)^4\)

Vậy Pt ban đầu có nghiệm khi \(c\ge8\left(a-b\right)^4\ge0\)

b, \(\Delta'=b'^2-ac=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-1.\left(-m-3\right)=m^2-2m+1+m+3\)

\(=m^2-m+4=m^2-m+\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\)

Vậy pt (1) có 2 nghiệm x1,x2 với mọi m

Theo hệ thức vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\left(2\right)\\x_1x_2=-m-3\left(3\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2=10\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)

<=>\(4\left(m-1\right)^2-2\left(-m-3\right)=10\)

<=>\(4m^2-8m+4+2m+6=10\)

<=>\(4m^2-6m+10=10\Leftrightarrow2m\left(2m-3\right)=0\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}m=0\\m=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

c, Từ (2) => \(m=\frac{x_1+x_2+2}{2}\)

Thay m vào (3) ta có: \(x_1x_2=\frac{-x_1-x_2-2}{2}-3=\frac{-x_1-x_2-8}{2}\)

<=>\(2x_1x_2+x_1+x_2=-8\)