Tham khảo:
 

Ta có: 2^n+1;2^n;2^n-1  là 3 số tự nhiên liên tiếp

=>một trong 3 số trên chia hết cho 3

mà 2^n+1 là số nguyên tố(n>2)=>2^n+1 ko chia hết cho 3

mặt khác: 2^n ko chia hết cho 3

=>2^n-1 chia hết cho 3

CHÚC CẬU HỌC TỐT VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO!

Nếu n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n=3k+1 hoặc n=3k+2

Trường hợp 1) Nếu n=3k+1 thì 2n+1=2.(3k+1)+1=2.3k+2+1=6k+3 mà 6k+3 chia hết cho 3 nên 2n+1 là hợp số. Suy ra: n khác 3k+1.

Trường hợp 2) Nếu n=3k+2 thì 2n+1=2.(3k+2)+1=2.3k+2.2+1=6k+4+1=6k+5 không chia hết cho số nào cả ngoại trừ 1 và 6k+5 nên 2n+1 là số nguyên tố nên n=3k+2.

Ta có:4n+1=4.(3n+2)+1=4.3n+4.2+1=12n+8+1=12n+9 chia hết cho 1;3;12n+9 nên 4n +1 là hợp số. 

Vì 2n+1 là số nguyên tố với n > 2

=> ta có: 2n+1-1 = 2n => chia hết cho 2 => 2n+1 là nguyên tố thì 2n-1 là hợp số (đpcm)

sao gì nóng nhất

a: \(\Leftrightarrow2n+1\in\left\{1;3;9\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;1;4\right\}\)

\(a,\Leftrightarrow10n+14⋮2n+1\\ \Leftrightarrow5\left(2n+1\right)+9⋮2n+1\\ \Leftrightarrow2n+1\inƯ\left(9\right)=\left\{1;3;9\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{0;1;4\right\}\)

Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Gọi d là ước chung của 2n+1 và 3n+1

\(\Rightarrow2n+1⋮d,3n+1⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow6n+3-6n-2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1.\)

Vậy với \(n\in N\)thì 2n+1 và 3n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Gọi d là ước chung của 2n+1 và 3n+1

⇒2n+1⋮d,3n+1⋮d

⇒3(2n+1)−2(3n+1)⋮d

⇒6n+3−6n−2⋮d

⇒1⋮d⇒d=1.

Vậy với n∈Nthì 2n+1 và 3n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.