Ta có : \(2xy\le x^2+y^2=8\Rightarrow xy\le4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\le16\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le4^2\Rightarrow-4\le x+y\le4\)

Vậy Max x+y là 4 khi x=y=2

       Min x+y là -4 khi x=y=-2

3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).

Ta co : \(x^2+y^2-4x+3=0\)

\(=>\left(x-2\right)^2+y^2=1\)

\(=>\left(x-2\right)^2\le1=>x\le3\)

Lai co : \(x^2+y^2=4x-3\le4.3-3=9\)

Dau = xay ra \(< =>\hept{\begin{cases}x=4\\y=0\end{cases}}\)

Vay gtln cua P = 9 khi x = 4 ; y = 0

(sai thi bo qua cho minh vi lan dau lam dang nay)

M=x+yxy.1z≥2√xyxy.1z=2z√xy≥2z(x+y2)=4z(x+y)M=x+yxy.1z≥2xyxy.1z=2zxy≥2z(x+y2)=4z(x+y)

=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

\(\Rightarrow1\ge2xy\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge xy\)

Có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Vậy \(Min_{x+y}=\sqrt{2}\)

Làm tương tự với max

Thêm đk: x,y>0

Tìm max:

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\ge x+y\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

KL:...............................

Tìm Max nhá:

\(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1\)

Suy ra \(\left(x+y\right)^2=1+2xy\)

Lại có: \(1=x^2+y^2\ge2xy\)

Suy ra \(\left(x+y\right)^2=1+2xy\le1+1=2\Leftrightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Ê đạt: cái của bạn làm là tìm max chứ đâu phải min?

\(x+y=4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow4>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=1\)(bđt svacxo)

\(x^2+y^2>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2};xy< =\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow P=x^2+y^2-xy>=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}>=\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\)

dấu = xảy ra khi \(x+y=1;x=y\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)

vậy min P là \(\frac{1}{4}\)khi x=y=\(\frac{1}{2}\)

Vì x,y là số thực dương nên theo BĐT Cosi ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) Dấu "=" xảy ra <=> x=y hay x+x+x²=15 => x=y=3

GT: x+y+xy=15 => xy=15-(x+y)

Do đó: \(P=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(x+y\right)^2-30+2\left(x+y\right)\ge\left(2\sqrt{xy}\right)^2-30+2\cdot2\sqrt{xy}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=3

Vậy \(min_P=4\cdot3^2-30+4\cdot3=18\Leftrightarrow x=y=3\)