ko vt lại đề 

(xyz-xy)-(yz-y)-(zx-x)+(z-1)=2019

=>xy(z-1)-y(z-1)-x(z-1)+(z-1)=2019

=> (z-1)(xy-y-x+1)=2019

=> (z-1)(z-1)(y-1)=2019

vì x>y>z>0 => (x-1) khác (y-1) khác (z-1)=> x-1>y-1>z-1

nên (z-1),(x-1)và (y-1) thuộc ước của 2019={ 1,3,673,2019}

(x-1)(y-1)(z-1)= 673.3.1=2019

=> x-1=673=>x=674

=>y-1=3=>y=4

=> z-1 =1=>z=2

Vậy x=674,y=4,z=2

Do x; y ; z > 0 nên xyz khác 0 => \(\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=1\Rightarrow\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\Rightarrow\frac{1}{x}1\)

Vì x<= y< = z nên \(\frac{1}{x}\ge\frac{1}{y}\ge\frac{1}{z}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\)

=> 1 < = 3/x => x < = 3 mà x > 1 nên x = 2 hoặc 3

Nếu x = 2 => \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{y}2;\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{2}{y}\Rightarrow\frac{2}{y}\ge\frac{1}{2}\Rightarrow y\le4\)

mà y >2 => y = 3 hoặc 4 

y = 3 => z = 6;

y = 4 => z = 4

nếu x = 3 => \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{1}{y}\frac{3}{2};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{2}{y}\Rightarrow\frac{2}{y}\ge\frac{2}{3}\Rightarrow y\le3\)

theo đề bài x<= y nên y = 3 => z = 3

Vậy (x;y;z) = (3;3;3); (2;3;6);(2;4;4)

x=1;y=9;z=8

Kiểm tra lại mà xem.

Vì x, y, z là số tự nhiên nên không mất tính tổng quát ta giả sử:

\(x\ge y\ge z\ge0\)

\(\Rightarrow x=2017-y-z\ge2017-0-0=2017\)

Vậy GTLN là 2017 đạt được khi \(\hept{\begin{cases}x=2017\\y=z=0\end{cases}}\) và các hoán vị của nó

Ở trên a ghi nhầm dấu \(\le\) thành dấu \(\ge\) e sửa hộ a nhé

ta sẽ chứng minh rằng max của P = xyz đạt được khi các giá trị x, y, z  hơn kém nhau không quá 1 đơn vị.

thật vậy, giả sử x₀, y_0,z₀ là các giá trị để P đạt max(tức Max P = x₀y₀z₀) và x₀ - y₀ \(\ge\) 1 hay x₀ - y₀ - 1 \(\ge\)1

xét các giá trị x₁ = x₀ - 1; y₁ = y₀ + 1, z₁ = z₀.

khi đó P = z₀.(x₀ - 1)(y₀ +1) = z₀(x₀y₀ +x₀ - y₀ - 1) > x₀y₀z₀. (vô lí vì x₀y₀z₀ là max P).

vậy khi đó x₀, y₀, z₀ hơn kém nhau không quá 1 đơn vị hay x₀ = 672, y₀ = 672, z₀ = 673. từ đó suy ra maxP.

Ta có: \(\frac{x}{x+y+z}>\frac{x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+t}>\frac{y}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{y+z+t}>\frac{z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+z+t}>\frac{t}{x+y+z+t}\)

=>\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}>\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}\)

=>\(M>\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)

=>M>1(1)

Lại có: 

Áp dụng tính chất: Nếu \(\frac{a}{b}<1=>\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\)

Ta có: \(\frac{x}{x+y+z}<\frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+t}<\frac{y+z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{y+z+t}<\frac{z+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+z+t}<\frac{t+y}{x+y+z+t}\)

=>\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}<\frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{y+z}{x+y+z+t}+\frac{z+x}{x+y+z+t}+\frac{t+y}{x+y+z+t}\)

=>\(M<\frac{2.\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=2\)

=>M<2(2)

Từ (1) và (2)

=>1<M<2

=>M không là số tự nhiên

=>ĐPCM