x¹ + x² + x³ +.....+ x²⁰¹¹ = 0

=> (x¹ + x²) + (x³ + x⁴) +....+(x²⁰⁰⁹ + x²⁰¹⁰) + x²⁰¹¹ = 0

=> 2 + 2 + 2 +.....+ 2 + x²⁰¹¹ = 0

=> 1005 . 2 + x²⁰¹¹ = 0

=> 2010 + x²⁰¹¹ = 0

=> x²⁰¹¹ = -2010

=> Không có giá trị nào của x thỏa mãn đề bài

x¹ + x² + x³ +.....+ x²⁰¹¹

= (x¹ + x²) + (x³ + x⁴) +....+ ( x²⁰⁰⁹ + x²⁰¹⁰) + x²⁰¹¹

= 2 + 2 + 2+.....+ 2 + x²⁰¹¹

= 1005 . 2 + x²⁰¹¹

=2010 + x²⁰¹¹ = 0

=> x²⁰¹¹ = -2010

=> Không có giá trị của x thỏa mãn đề bài

-4020 nha                                            

Ta có \(x_1+x_2+x_3+...+x_{2010}+x_{2011}=0\)

Mà \(x_1+x_2=x_3+x_4=...=x_{2009}+x_{2010}=2\)

Thế vào ta có 

\(2+2+2+2+...+2+x_{2011}=0\)

Ta có số số hạng là

\(2010-1+1=2010\)(số hạng)

Mà 1 cặp gồm 2 số hạng nên có số cặp là

\(\frac{2010}{2}=1005\)(cặp)

Vì mỗi cặp có tổng là 2 nên

 ta có

\(1005\cdot2+x_{2011}=0\)

Suy ra \(2010+x_{2011}=0\)

Suy ra \(x_{2011}=0-2010=-2010\)

Vậy \(x_{2011}=-2010\)

Ở đây bn toàn bị nhầm ở chỗ \(x_1+x_2=x_3+x_4=...=x_{2009}+x_{2010}\)

Lời giải:

Xét PT(1):

\(\Leftrightarrow \frac{x-2013}{2011}+1+\frac{x-2011}{2009}+1=\frac{x-2009}{2007}+1+\frac{x-2007}{2005}+1\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-2}{2011}+\frac{x-2}{2009}=\frac{x-2}{2007}+\frac{x-2}{2005}\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left(\frac{1}{2011}+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2007}-\frac{1}{2005}\right)=0\)

Dễ thấy $\frac{1}{2011}+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2007}-\frac{1}{2005}\neq 0$ nên $x-2=0$

$\Rightarrow x=2$Xét $(2)$:\(\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x+m)}{x-1}=0\)

Để $(1);(2)$ là 2 PT tương đương thì $(2)$ chỉ có nghiệm $x=2$

Điều này xảy ra khi $x+m=x-1$ hoặc $x+m=x-2\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=-2$

\(x= \dfrac{2011^3-1}{2011^2+2012} = \dfrac{(2011-1)(2011^2+2011+1)}{2011^2 + 2011 + 1} = 2010\)

\(y = \dfrac{2012^3+1}{2012^2-2011} = \dfrac{(2012+1)(2012^2-2012+1)}{2012^2-2012 + 1} = 2013\)

Suy ra:

 x + y = 2010 + 2013 = 4023