\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

=>\(\dfrac{3^2+3^2-BC^2}{2\cdot3\cdot3}=-\dfrac{1}{2}\)

=>18-BC^2=-9

=>BC^2=27

=>\(BC=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(\dfrac{BC}{sinA}=2R\)

=>\(2\cdot R=3\sqrt{3}:sin120=3\sqrt{3}:\dfrac{1}{2}=6\sqrt{3}\)

=>\(R=3\sqrt{3}\)

Qua D kẻ DE // AB ( E \(\in\)AB )

Vì AD là phân giác góc A của \(\Delta ABC\):

\(\Rightarrow\)\(\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{DC}{DB+DC}=\frac{AC}{AB+AC}\)hay \(\frac{DC}{BC}=\frac{6}{3+6}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{DC}{BC}=\frac{2}{3}\)(1)

Ta có : AB là phân giác góc A \(\Rightarrow\)\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{120}{2}=60^0\)

Mà \(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}=60^0\)( so le trong , DE // AB )

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{D_1}=60^0\Rightarrow\)\(\Delta ADE\)đều

\(\Rightarrow\)AD = DE 

Vì DE // AB ( cách dựng )

Xét \(\Delta ABC\)theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:\(\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}\)(2)

Thế (1) vào (2) ta được :\(\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}\)hay \(\frac{DE}{3}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow DE=\frac{2.3}{3}=2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AD=2\left(cm\right)\)( AD=DE chứng minh trên )

Vì \(\widehat{ABC}\) là góc tù nên AC>BC>AB(1)

Xét \(\widehat{ABC}\) có:

BC+AB>AC (bất đẳng thức tam giác)(2)

Từ (1)(2)=> BC<AC<BC+AB

                    5<AC<8

=> AC=6cm hoặc AC=7cm

Theo định lí cos 

\(AC^2=AB^2+BC^2-2cosABC.AB.BC=49\Rightarrow AC=7cm\)