a: AE+EB=AB

BF+FC=BC

CG+GD=CD

DH+HA=DA

mà AB=BC=CD=DA và AE=BF=CG=DH

nên EB=FC=GD=HA

Xét ΔEAH vuông tại A và ΔGCF vuông tại C có

EA=GC

AH=CF

Do đó: ΔEAH=ΔGCF

=>EH=GF

Xét ΔEBF vuông tại B và ΔGDH vuông tại D có

EB=GD

BF=DH

Do đó: ΔEBF=ΔGDH

=>EF=GH

Xét ΔEAH vuông tại A và ΔFBE vuông tại B có

EA=FB

AH=BE

Do đó: ΔEAH=ΔFBE

=>EH=EF và \(\widehat{AEH}=\widehat{BFE}\)

\(\widehat{AEH}+\widehat{HEF}+\widehat{BEF}=180^0\)

=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BEF}+\widehat{HEF}=180^0\)

=>\(\widehat{HEF}+90^0=180^0\)

=>\(\widehat{HEF}=90^0\)

Xét tứ giác EHGF có

EF=GH

EH=GF

Do đó: EHGF là hình bình hành

Hình bình hành EHGF có EF=EH

nên EHGF là hình thoi

Hình thoi EHGF có \(\widehat{HEF}=90^0\)

nên EHGF là hình vuông

b: 

AH+HD=AD

=>AH+1=4

=>AH=3(cm)

ΔAEH vuông tại A

=>\(AE^2+AH^2=EH^2\)

=>\(EH^2=3^2+1^2=10\)

=>\(EH=\sqrt{10}\left(cm\right)\)

EHGF là hình vuông

=>\(S_{EHGF}=EH^2=10\left(cm^2\right)\)

\(Ta\) \(có\) \(S_{ABCD}=6.6=36\left(cm^2\right)\)

\(S_{EFGH}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}.36=18\left(cm^2\right)\)

Hình: tự vẽ. Chỉ làm tắt thôi, không được chi tiết và đầy đủ đâu nhá.

S_PFGQ = 100 - (S_APQ + S_QDG + S_FGC + S_PBF)

 = 100 - [(AP.AH + 3AP) + (QD.AP + 2QD) + (AH.BE + 2AH) + HD.BE)

 = 100 - [(AP.AH + QD.AP + 3AP) + (2QD + 2AH) + (AH.BE + HD.BE)

 = 100 - (10AP + 14 + 10BE)

 = 100 - 80 - 14

 = 6

ket qua la 6

hình tự vẽ

*S_APQ=\(\frac{AP.AQ}{2}=\frac{\left(AE-EP\right)\left(AH+HQ\right)}{2}=\frac{\left(5-2\right).\left(5+3\right)}{2}=12\left(cm^2\right)\)

*S_PBF=\(\frac{PB.BF}{2}=\frac{\left(BE+EP\right).BF}{2}=\frac{\left(5+2\right).5}{2}=17,5\left(cm^2\right)\)

_{Tương tự vậy ta tính được:} S_FCG=12,5(cm²)

                                 S_QDG=5(cm²)

=>S_BFGQ =100-12-17,5-12,5-5=53 (cm²)

Tham khảo:

a) Tam giác ABC có: MP cắt AC tại E

Mà MP thuộc (MNP)

Nên E là giao điểm của AC và (MNP)

Tam giác ABD có: MN cắt BD tại F

Mà MN thuộc (MNP)

Nên F là giao điểm của BD và (MNP)

b) Ta có: P thuộc BC

          F thuộc BD

Suy ra PF thuộc (BCD)

Do đó PF và CD cùng thuộc (BCD)

Nên PF và CD cắt nhau tại một điểm (1)

Ta có: N thuộc AD

          E thuộc AC

Suy ra NE thuộc (ACD)

Do đó NE và CD cắt nhau tại một điểm (2)

Từ (1) và (2) suy ra: NE, PE, CD cùng đi qua một điểm

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của EF, EG, HG

∆AEF vuông tại A có AM là trung tuyến nên AM = ¹/₂EF

∆HCG vuông tại C có CP là trung tuyến nên CP = ¹/₂GH

∆EFG có MN là đường trung bình nên MN = ¹/₂FG

∆EGH có NP là đường trung bình nên NP = ¹/₂EH

Chu vi tứ giác EFGH bằng EF + FG + GH + HE = 2(AM + MN + NP + PC) ≥ 2AC

Dấu "=" xảy ra khi A, M, N, P, C thẳng hàng theo thứ tự đó

<=> FG // AC // EH, EF // BD // HG <=> Tứ giác EFGH là hình bình hành

Cách xác định điểm: Lấy điểm F trên AB sao cho EF // BD, sau đó lần lượt lấy các điểm H, G trên CD, BC sao cho EH // AC // FG