MN,NP,PQ,QM lần lượt là đtb tam giác ABC,BCD,ACD,ABD

Do đó MN//AC;NP//BD;PQ//AC;QM//BD

Mà AC⊥BD nên MN⊥NP;PQ⊥QM

Do đó \(\widehat{MNP}+\widehat{PQM}=90^0+90^0=180^0\)

Vậy MNPQ nội tiếp (đpcm)

Em tham khảo link dưới

chứng minh MNPQ là hình chữ nhật

=> M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Câu hỏi của Nàng tiên cá - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Xét t/g ABD có: AM=BM (gt), AQ=DQ (gt)

=>MQ là đường trung bình của tam giác ABD

=>MQ // BD và MQ = 1/2BD (1)

CM tương tự với t/g CBD ta có: NP // BD và NP = 1/2BD (2)

Từ (1) và (2) => MQ // NP và MQ = NP 

=> MNPQ là hình bình hành (3)

Xét t/g ABC ta có: AM=BM (gt), BN = CN (gt)

=> MN là đg trung bình của t/g ABC

=> MN // AC

Mà AC _|_ BD (gt)

=> MN _|_ BD

Mà NP // BD (cmt)

=> MN _|_ NP (4)

Từ (3) và (4) =>  MNPQ là hình chữ nhật

Xét tam giác ABC có:

+ M là trung điểm của AB (gt).

+ N là trung điểm của BC (gt).

\(\Rightarrow\) MN là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) MN // AC và MN = \(\dfrac{1}{2}\) AC (Tính chất đường trung bình trong tam giác). (1)

Xét tam giác ADC có:

+ Q là trung điểm của DA (gt).

+ P là trung điểm của CD (gt).

\(\Rightarrow\) QP là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) QP // AC và QP = \(\dfrac{1}{2}\) AC (Tính chất đường trung bình trong tam giác). (2)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow\) MN // QP và MN = QP.

Xét tứ giác MNPQ:

+  MN // QP (cmt).

+ MN = QP (cmt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác MNPQ là hình bình hành (dhnb).

ABC là tứ giác à?

Xét ΔABD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔCBD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>NP là đường trung bình của ΔCBD

=>NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình

=>MN//AC

MN//AC

AC\(\perp\)BD

Do đó: MN\(\perp\)BD

MN\(\perp\)BD

MQ//BD

Do đó: MN\(\perp\)MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MQ//NP

MQ=NP

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có \(\widehat{NMQ}=90^0\)

nên MNPQ là hình chữ nhật

=>M,N,P,Q cùng nằm trên 1 đường tròn