Question

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau.Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD và DA.Chứng minh M,N,P và Q cùng nằm trên một đường thẳng

Answer 1

Xét ΔABD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔCBD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>NP là đường trung bình của ΔCBD

=>NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình

=>MN//AC

MN//AC

AC\(\perp\)BD

Do đó: MN\(\perp\)BD

MN\(\perp\)BD

MQ//BD

Do đó: MN\(\perp\)MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MQ//NP

MQ=NP

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có \(\widehat{NMQ}=90^0\)

nên MNPQ là hình chữ nhật

=>M,N,P,Q cùng nằm trên 1 đường tròn