\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(4\left(x-3\right)+3\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow4x+3y-9=0\)

Gọi \(M\left(m;0\right)\Rightarrow d\left(M;AB\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|4m-9\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1\Leftrightarrow\left|4m-9\right|=5\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4m-9=5\\4m-9=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(\frac{7}{2};0\right)\\M\left(1;0\right)\end{matrix}\right.\)

Đáp án D

Ta gọi  M(a ; 0)

Đường thẳng AB qua B(0 ; 3) và nhận  A B   → ( - 3   ;   4 )  làm VTCP và n → ( 4   ; 3 )  làm VTPT nên có pt :

4(x-0) + 3( y-3) =0 hay 4x + 3y -9= 0 và AB= 5

ta có pt đường cao kẻ từ B:(d1) x+3y-5=0 
vì AC _|_ (d1) và AC đi qua C(-1; -2) 
=> pt AC: 3(x+1) -(y+2) =0 
<=> 3x -y + 1=0 
ta có A là giao điểm của AC và đg trung tuyến (d2) kẻ từ A 
=> A là nghiệm của hệ: 
{ 5x+y-9=0 
{ 3x -y + 1=0 
<=> 
x=1 ; y=4 
=> A( 1;4) 

Vì B ∈ (d1) => B(5- 3y; y) 
gọi I là trung điểm BC => I ∈ (d2) 
Vì I là trung điểm BC 
=> 
{ 2xI = xB + xC 
{ 2yI = yB + yC 
<=> 
{ xI= (5-3y-1)/2 = (4-3y)/2 
{ yI= (y -2)/2 

Vì I ∈ (d2) 
=> 5(4-3y)/2 + (y -2)/2 -9 =0 
<=> y= 0 
=> B( 5; 0) 
Vậy A( 1;4) và B( 5; 0)

Ta có pt đường cao kẻ từ B: (d1) x+3y-5=0
Vì AC _|_ (d1) và AC đi qua C(-1; -2)
=> pt AC: 3(x+1) -(y+2) =0
<=> 3x -y + 1=0
Ta có A là giao điểm của AC và đường trung tuyến (d2) kẻ từ A
=> A là nghiệm của hệ:
{ 5x+y-9=0
{ 3x -y + 1=0
<=>
x=1 ; y=4
=> A( 1;4)

Vì B ∈ (d1) => B(5- 3y; y)
Gọi I là trung điểm BC => I ∈ (d2)
Vì I là trung điểm BC
=>
{ 2xI = xB + xC
{ 2yI = yB + yC
<=>
{ xI= (5-3y-1)/2 = (4-3y)/2
{ yI= (y -2)/2

Vì I ∈ (d2)
=> 5(4-3y)/2 + (y -2)/2 -9 =0
<=> y= 0
=> B( 5; 0)
Vậy A( 1;4) và B( 5; 0)

Gọi D là giao điểm MN và BC

Từ M kẻ ME vuông góc BC, từ N kẻ NF vuông góc BC

\(\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{NCF}\Rightarrow\Delta MBE=\Delta NCF\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow ME=NF\)

\(\Rightarrow\Delta MED=\Delta NFD\) 

\(\Rightarrow MD=ND\) hay D là trung điểm MN

\(\Rightarrow D\left(-1;3\right)\Rightarrow\overrightarrow{ED}=\left(2;4\right)=2\left(1;2\right)\)

Phương trình BC (hay ED) có dạng:

\(2\left(x+3\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow2x-y+5=0\)

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+4=0\\2x-y+5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-4;-3\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\left(3;4\right)\)  \(\Rightarrow cosB=\dfrac{\left|3.1+4.2\right|}{\sqrt{3^2+4^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{11\sqrt[]{5}}{25}\)

Do C thuộc BC nên tọa độ dạng: \(C\left(c;2c+5\right)\Rightarrow\overrightarrow{NC}=\left(c+1;2c+12\right)\)

\(cosC=cosB=\dfrac{11\sqrt{5}}{25}=\dfrac{\left|1.\left(c+1\right)+2\left(2c+12\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{\left(c+1\right)^2+\left(2c+12\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow c^2+10c-96=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=6\Rightarrow C\left(6;17\right)\\c=-16\Rightarrow C\left(-16;-27\right)\end{matrix}\right.\)

(Loại \(C\left(-16;-27\right)\) do D nằm giữa B và C)

Viết phương trình AB (qua M và B), viết phương trình AC (qua N và C). Tọa độ A là giao AB và AC

a: vecto AB=(6;-4)

PTTS là:

x=-6+6t và y=3-4t

b: Vì (d) vuông góc AB nên (d) có VTPT là (3;-2)

Phương trình(d) là:

3(x-3)+(-2)(y-2)=0

=>3x-9-2y+4=0

=>3x-2y-5=0