Theo BĐT Cosi ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4\cdot y^4}=x^2y^2\\\frac{y^4+z^4}{2}\ge\sqrt{y^4\cdot z^4}=y^2z^2\\\frac{z^4+x^4}{2}\ge\sqrt{z^4\cdot x^4}=x^2z^2\end{cases}\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)

chứng minh tương tự: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xyz^2+x^2yz\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge3xyz\)(do x+y+z=3) 

Do đó: \(x^4+y^4+z^4\ge3xyz\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=y^4;y^4=z^4;z^4=x^4\\x^2y^2=y^2z^2;y^2z^2=z^2x^2;z^2x^2=x^2y^2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)(1)

mà x+y+z=3 (2)

Từ (1) và (2) => 3x=3 => x=1 => y=z=1

=> \(x^{2018}+y^{2019}+x^{2020}=1+1+1=3\)

Online Math là nhất

Online Math như cặc

\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{2.3}=\frac{y}{3.3}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\left(1\right)\)

\(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{2.3}=\frac{z}{5.2}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\left(2\right)\)

Từ 1 và 2

\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\)

Đặt \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}=k\)

=> x = 6k

y = 9k

z = 10k

Thay vào đẳng thức 3(đề cho) , ta có :

x² + y² + z² = \(\frac{217}{4}\)

=> (6k)² + (9k)² + (10k)² = \(\frac{217}{4}\)

=> 36k² + 81k² + 100k² = \(\frac{217}{4}\)

=> k²(36 + 81 + 100) = \(\frac{217}{4}\)

=> k² = \(\frac{217}{4}:217=\frac{217}{4}.\frac{1}{217}=\frac{1}{4}=0,25\)

Mà x , y , z dương

=> k chỉ có thể nhận giá trị dương vì 6 ; 9 ; 10 > 0

=> k = 0,25

=> x = 6. 0,25 = 1,5

y = 9. 0,25 = 2,25

z = 10. 0,25 = 2,5

=> x + 2y - 2z = 1,5 + 2. 2,25 - 2. 2,5

= 1,5 + 4,5 - 5

= 1

Ta có:\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\left(1\right)\)

\(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\Rightarrow\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}=\frac{x^2+y^2+z^2}{36+81+100}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}\cdot36=9\Rightarrow x=3\)(vì x là số dương)

\(\Rightarrow y^2=81\cdot\frac{1}{4}=20,25\Rightarrow y=4,5\text{(vì y là số dương)}\)

\(\Rightarrow z^2=\frac{1}{4}\cdot100=25\Rightarrow z=5\text{(vì z là số dương)}\)

\(\Rightarrow x+2y-2z=3+4,5\cdot2-5\cdot2=12-10=2\)