Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), SA=a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và (SAC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và (SAC)
A. 2 5
B. 55 10
C. 3 5 10
D. 1 5
Đáp án B
Dễ thấy
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác MHN vuông tại H, có
Tam giác MHC vuông tại H, có
Tam giác MNC, có
c
o
s
M
N
C
^
Vậy cos(MN;(SAC)) = sin M N C ^ = 1 - cos 2 M N C ^ = 55 10
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, A B = B C = a , A D = 2 a , S A vuông góc với mặt đáy A B C D , S A = a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Tính cosin của góc giữa MN và (SAC).
A. 2 5
B. 55 10
C. 3 5 10
D. 1 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại B. AB=BC=a, AD=2a. Biết SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm SB,CD. Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)
A. 5 5
B. 55 10
C. 3 5 10
D. 2 5 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a. Biết SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).
A. 5 5
B. 55 10
C. 3 5 10
Chọn C
Ta gọi E, F lần lượt là trung điểm của SC, AB
Ta có ME//NF(do cùng song song với BC. Nên tứ giác MENF là hình thang, và
hay tứ giác MENF là hình thang vuông tại M, F
Ta có: hay E là hình chiếu vuông góc của N lên (SAC)
Từ đó ta có được, góc giữa MN và (SAC) là góc giữa MN và CI
Suy ra, gọi
α
là góc giữa MN và (SAC) thì
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B A B = B C = a , A D = 2 a . SAvuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và CD Tính cosin góc giữa M N v à S A C .
A. 1 5
B. 3 5 10
C. 55 10
D. 2 5
Đáp án là C.
Ta dễ chứng minh được tam giácACD vuông tại C, từ đó chứng minh được CN vuông góc với mặt phẳng (SAC) hay C là hình chiếu vuông góc của N trên (SAC). Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (SAC) tại J xác định như hình vẽ. Suy ra góc giữa MN và (SAC) là góc NJC .
IN là đương trung bình trong tam giác ACD suy ra IN=a, IH là đường trung bình trong tam giác ABC suy ra I H = 1 2 B C = a 2 . Dựa vào định lí Talet trong tam giác MHN ta được I J = 2 3 M H = 2 3 . 1 2 S A = 1 3 S A = a 3 . Dựa vào tam giác JIC vuông tại I tính được J C = 22 6 .
Ta dễ tính được C N = a 2 2 , J N = a 10 3 .
Tam giác NJC vuông tại C nên cos N J C ^ = J C J N = 55 10 .
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Tính côsin góc giữa MN và (SAC)
A . 1 5
B . 3 5 10
C . 55 10
D . 2 5
Đáp án C
Kẻ CN
⊥
AB ta dễ dàng tính được
=> tam giác ADC vuông tại C. Từ đó NC ⊥ (SAC)
Gọi O là trung điểm của AC, dễ dàng cm được BD ⊥ (SAC)
=> MK ⊥ (SAC). vơí K là trung điểm của SO, từ đó KC là hc của MN lên .
Ta kẻ KZ ⊥ AC
với T là trung điểm của AB.
Gọi α là góc tạo với MN và (SAC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB = BC = CD = a, AD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD. Tính cosin góc giữa MN và (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a 3 3 4
A . 5 10
B . 3 310 20
C . 310 20
D . 3 5 10
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang cân, A D = a , A B = a , B C = a , C D = 2 a . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Tính cosin góc giữa MN và (SAC) biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a 3 3 4
A. 310 20
B. 3 5 10
C. 3 310 20
D. 5 10
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(SA=a,SB=a\sqrt{3}\) và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AB, suy ra \(SH\perp\left(ABCD\right)\)
Do đó, SH là đường cao của hình chóp S.BMDN
Ta có : \(SA^2+SB^2=a^2+3a^2=AB^2\)
Nên tam giác SAB là tam giác vuông tại S.
Suy ra : \(SM=\frac{AB}{2}=a\) Do đó tam giác SAM là tam giác đều, suy ra \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Diện tích của tứ giác BMDN là \(S_{BMDN}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=2a^2\)
Thể tích của khối chóp S.BMDN là \(V=\frac{1}{3}SH.S_{BMDN}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
Kẻ ME song song với DN (E thuộc AD)
Suy ra : \(AE=\frac{a}{2}\) Đặt \(\alpha\) là góc giữa 2 đường thẳng SM và DN
Ta có \(\left(\widehat{SM,ME}\right)=\alpha\), theo định lý 3 đường vuông góc ta có \(SA\perp AE\)
Suy ra :
\(SE=\sqrt{SA^2+AE^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2};ME=\sqrt{AM^2+AE^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Tam giác SME là tam giác cân tại E nên \(\begin{cases}\widehat{SME}=\alpha\\\cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\end{cases}\)