Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:

PM = AB/2 (tính chất đường trung bình tam giác)

Vì PN là đường trung bình của tam giác ΔACD nên:

PN = CD/2 (tính chất đường trung hình tam giác)

Mà PN = PM + MN

Suy ra: MN = PN – PM = CD/2 - AB/2 = (CD-AB)/2

a. Gọi P là trung điểm của AD, nối PM

Trong ΔDAB ta có: 

Suy ra: 

Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét) (1)

Trong ΔACD, ta có 

Suy ra: 

Suy ra: PN // CD (định lí đảo định lí Ta-lét) (2)

Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.

Vậy MN // CD hay MN // AB.

b. Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:

PM = AB/2 (tính chất đường trung bình tam giác)

Vì PN là đường trung bình của tam giác ΔACD nên:

PN = CD/2 (tính chất đường trung hình tam giác)

Mà PN = PM + MN

Suy ra: MN = PN – PM = CD/2 - AB/2 = (CD-AB)/2

a, kẻ AM cắt CD tại E 

xét tam giác AMB và tam giác EMD có : góc AMB = góc EMD (đối đỉnh)

DM = MB do M là trung điểm của BD (gt)

góc ABM = góc MDE (so le trong AB // DC)

=> tam giác AMB = tam giác EMD (g-c-g)                                                      (1)

=> AM = ME (đn) có M nằm giữa A và E 

=> M là trung điểm của AE 

N là trugn điểm của AC (gt) ; xét tam giác AEC 

=> MN là đường trung bình của tam giác AEC  (đn)                                              (2)

=> MN // EC   (Đl)

CE // AB

=>  MN // AB 

b, (2) => MN = EC/2

EC = CD - DE

=> MN = (CD - DE) : 2

(1) => DE = AB 

=> MN = (CD - AB) : 2

a: Gọi F là trung điểm của BC

Xét ΔCAB có

N,F lần lượt là trung điểm của CA,CB

nên NFlà đường trung bình

=>NF//AB và NF=AB/2

Xét ΔDCB có

M,F lần lượt là trung điểm của BD,BC

nên MF là đường trung bình

=>MF//CD và MF=CD/2

=>MF//AB

mà NF//AB

nên M,N,F thẳng hàng

=>MN//AB

b: MN=MF-FN=1/2(CD-AB)

AB//BC ?

 Trước tiên kẻ AM cắt CD tại I 

Ta xét tam giác AMB và IMD 
Hai tam giác đó bằng nhau vì MB=MD (gt) và góc AMB=IMD (đđ) và góc ABM=IDM (so le trong vì AB//CD) 

Vì vậy mà AB=ID và MA=MI 

Xét tam giác AIC có MA=MI và NA=NC nên MN là đường trung bình của tam giác AIC nên MN//CI và MN=(1/2)CI 

Do CI=CD-ID cũng như CI=CD-AB (do AB=ID cmt) và MN=(1/2)CI 
nên MN=(1/2)(CD-AB)

Đấy là AB//DC

Gọi P là trung điểm của AD. Ta chứng minh được NP và MP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD và ADC nên suy ra NP//AB và MP//DC. Mặt khác AB//CD nên ta có P, N, M thẳng hàng MN//AB//DC

Kẻ AN cắt CD tại E

Xét △ANB và △END có :

      ^ANB = ^END (đối đỉnh)

        NB = ND (gt)

      ^ABD = ^BDE (so le trong)

\(\Rightarrow\)△ANB = △END (g.c.g)

\(\Rightarrow\)AN = NE (cặp cạnh tương ứng)

Xét △AEC có : AM = MC

                         AN = NE

\(\Rightarrow\)MN // EC

\(\Rightarrow\)MN // AB // CD (ĐPCM)

Lời giải

a)

Kẻ đường thẳng d qua M // với hai đáy

cắt AD tại P cắt BC tại Q cắt AC tại N'

Ta c/m N trùng N'

xét \(\Delta_{DBC}\) có MQ là đường trung bình tam giác => BQ=QC

PQ//DC => PQ là đường TB của Hình Thang ABCD => P là trung điểm của AD

xét \(\Delta_{DAC}\) có PQ là đường trung bình =>AN'=N'C

=> N' trùng N => MN //AB//CD=> dpcm

b)

???

a) Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD (1)

Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên )

AD = BC (ABCD cân)

CD cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCD\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

Hay \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra: (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Lại có: \(MD=3MO\left(gt\right)\Rightarrow NC=3NO\)

Trong tam giác OCD, ta có: \(\dfrac{MO}{MD}=\dfrac{NO}{NC}=\dfrac{1}{3}\)

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét )

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD

\(\Rightarrow\dfrac{OM}{OB}=\dfrac{MN}{AB}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{OM}{2OM}=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: \(AB=2MN=2.1,4=2,8\left(cm\right)\)

b) Ta có: \(\dfrac{CD-AB}{2}=\dfrac{5,6-2,8}{2}=\dfrac{2,8}{2}=1,4\left(cm\right)\)

Vậy: \(MN=\dfrac{CD-AB}{2}\)