gọi d = ƯCLN(a; b) 

=> a chia hết cho d; b chia hết cho d

=> (a+b)  chia hết cho d 

=> d = ƯC(a +b ;b) => ƯCLN(a+b; b) \(\ge\) d

Mà a/b chưa tối giản => d > 1 

=> ƯCLN(a+b; b) \(\ge\) d > 1

=> a+b/ b chưa tối giản

Gọi ƯCLN(a,b)=d (d \(\ne0;1;d\in Z\))

TA có:

TA có:

a/b=d.c/d.e (c;e khác 0;1 và c;e thuộc Z)

=>a+b/b=d.(c+e)/d.e chưa tối giản bởi nó còn phải rút gọn đi d nữa

Gọi ƯCLN(a,b)=d (d khác 0,-1,1)

=>\(a⋮d\)

\(b⋮d\)

Sử dụng tính chất chia hết của 1 tổng, ta được:

\(\left(a+b\right)⋮d\)

Mà \(b⋮d\)

nên phân số \(\frac{a+b}{b}\) rút gọn được cho d.

Vậy phân số trên chưa tối giản.

Bài 1:

Do \(\frac{a}{b}\) là một phân số chưa tối giản nên ta có thể đặt \(\hept{\begin{cases}a=md\\b=nd\end{cases}}\left[d=\left(a;b\right);\left(m;n\right)=1\right]\)

Khi đó ta có:

a) \(\frac{a}{a-b}=\frac{md}{md-nd}=\frac{md}{\left(m-n\right)d}\) chưa là phân số tối giản  (Cả tử vào mẫu vẫn có thể chia cho d để rút gọn)

b) \(\frac{2a}{a-2b}=\frac{2md}{md-2nd}=\frac{2md}{\left(m-2n\right)d}\) chưa là phân số tối giản   (Cả tử vào mẫu vẫn có thể chia cho d để rút gọn)

Gọi d = ƯCLN(a, a+b) (d thuộc N*)

=> a chia hết cho d; a + b chia hết cho d

=> a chia hết cho d; b chia hết cho d

Mà phân số a/b tối giản => d = 1

=> ƯCLN(a, a+b) = 1

=> phân số a/a+b tối giản

Gọi d = UCLN(a,a+b)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a⋮d\\a+b⋮d\Rightarrow b⋮d\end{cases}}\)

=> \(d\inƯC\left(a,b\right)\)

Do \(\frac{a}{b}\)là phân số tối  giản

=> (a,b) = 1

=> d = 1

=> \(\frac{a}{a+b}\)là phân số tối giản

- Còn phân số \(\frac{a}{a.b}\)không phải là ps tối giản vì nó vẫn  rút gọn được: \(\frac{a}{a.b}=\frac{1}{b}\)

 ( sai thì thôi nha )

\(\dfrac{a}{b}\) chưa tối giản

→a⋮b.

vì a⋮b và b⋮b

→a+b⋮b

→\(\dfrac{a+b}{b}\) chưa tối giản (ĐPCM)