Cho 2 số phức z 1 và z 2 thỏa mãn: z 1 − 5 − i = 3 , z 2 + 5 − 2 i = iz 2 − 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z 1 − z 2 là:
A. − 3 − 3 2 .
B. 3 + 3 2 .
C. 3 − 3 2 .
D. − 3 + 3 2 .
Đáp án D
Đặt z 1 = x 1 + y 1 i , x 1 ; y 1 ∈ ℝ . Số phức z 1 được biểu diễn bởi điểm M x 1 ; y 1 .
Đặt z 2 = x 2 + y 2 i , x 2 ; y 2 ∈ ℝ . Số phức z 2 được biểu diễn bởi điểm N x 2 ; y 2 .
Suy ra: z 1 − z 2 = MN .
Em có: z 1 − 5 − i = 3 ⇔ x 1 − 5 + y 1 − 1 i = 3 ⇔ x 1 − 5 2 + y 1 − 1 2 = 9.
Vậy điểm M thuộc đường tròn C : x − 5 2 + y − 1 2 = 9 , có tâm là điểm I(5;1), bán kính R = 3.
Vậy điểm N thuộc đường thẳng d: x - y +2 = 0.
Dễ thấy đường thẳng d và đường tròn C không cắt nhau.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho bộ ba điểm I, M, N em có:
MN
≥
IM
−
IN
=
IN
−
R
≥
d
I
;
d
−
R
=
5
−
1
+
2
2
−
3
=
−
3
+
3
2
Dấu “=” bằng xảy ra khi và chỉ khi I, M, N thẳng hàng và N là hình chiếu của I trên đường thẳng d.
Vậy z 1 − z 2 min = − 3 + 3 2 .
Cho hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z 1 − 2 i = 3 và z 2 + 2 + 2 i = z 2 + 2 + 4 i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z 1 − z 2 bằng
A. 1.
B. 2
C. 3
D. 4.
Đáp án B
Đặt z 1 = x 1 + y 1 i và z 2 = x 2 + y 2 i với x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ ℝ .
z 1 − 2 i = 3 ⇔ x 1 2 + y 1 − 2 2 = 9 ⇒ tập hợp các số phức z 1 là đường tròn C : x 2 + y − 2 2 = 9 .
z 2 + 2 + 2 i = z 2 + 2 + 4 i
⇔ x 2 + 2 2 + y 2 + 2 2 = x 2 + 2 2 + y 2 + 4 2 ⇔ y 2 + 3 = 0
Þ Tập hợp các số phức z 2 là đường thẳng d : y = − 3 .
Ta có P = z 1 − z 2 = x 2 − x 1 2 + y 2 − y 1 2 đây chính là khoảng cách từ B x 2 ; y 2 ∈ d điểm đến điểm A x 1 ; y 1 ∈ C .
Do đó z 2 − z 1 min ⇔ A B min .
Dựa vào hình vẽ ta tìm được A B min = 2 khi A 0 ; − 1 , B 0 ; − 3 .
Cho hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z 1 − 2 i = 3 và z 2 + 2 + 2 i = z 2 + 2 + 4 i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z 1 − z 2 bằng
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Cho 3 số phức z , z 1 , z 2 thỏa mãn z − 1 + 2 i = z + 3 − 4 i , z 1 + 5 − 2 i = 2 , z 2 − 1 − 6 i = 2. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = z − z 1 + z − z 2 + 4
A. 2 3770 13
B. 10361 13
C. 3770 13
D. 10361 26
Cho hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z 1 + z 2 = 3 5 + 4 5 i , | z 1 - z 2 | = 3 và biểu thức P = 4 | z 1 | 3 + 4 | z 2 | 3 - 3 | z 1 | - 3 | z 2 | + 5 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính | z 1 | + | z 2 | .
A. 3
B. 3 4
C. 2
D. 1
Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z - i ≥ 3 và z - 2 - 2 i ≤ 5 . Kí hiệu z 1 , z 2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P = z 2 + 2 z 1 .
A. P = 2 6
B. P = 3 2
C. P = 33
D. P = 8
Cho hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z 1 + z 2 = 3 5 + 4 5 i , z 1 - z 2 = 3 và biểu thức P = 4 z 1 3 + 4 z 2 3 - 3 z 1 - 3 z 2 + 5 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z 1 + z 2 .
A. 3
B. 3 4
C. 2
D. 1
Đáp án D
· Ta có: 
· Xét hàm số:
· Do đó 
Dấu “=” xảy ra khi 
Cho hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z 1 - 3 i + 5 = 2 và i z 2 - 1 + 2 i = 4 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2 i z 1 + 3 z 2
A. 313 + 16
B. 313
C. 313 + 8
D. 313 + 2 5
Đáp án A.
Phương pháp giải:
Đưa về biện luận vị trí giữa hai điểm thuộc đường tròn để khoảng cách của chúng lớn nhất
Lời giải:
Ta có 
Và 
Đặt 
và 
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức u là đường tròn 
tâm
I
1
(
-
6
;
-
10
)
,
R
1
=
4
Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v là đường tròn 
tâm
I
2
(
6
;
3
)
,
R
2
=
4
Khi đó 
Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z 1 - 3 i + 5 = 2 và i z 2 - 1 + 2 i = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2 i z 1 + 3 z 2 .
A. 313 + 16
B. 313
C. c
D. 313 + 2 5
