a) Tam giác HMN là tam giác đều.

Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I. Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O’ là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp. Khi đó điểm O’ phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Ta có d ⊥ (ABCD) tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Ta có MI // SA nên MI  ⊥ (ABCD) tại I. Từ M kẻ đường thẳng d’ // OI cắt d tại O’. Vì d′ ⊥  (SAC) tại M nên ta có O’C = O’S và O’C là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có:

Đáp án B

Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng A’ qua tâm O’.

Kẻ BH vuông góc với A ' D ⇒ B H ⊥ A O   O ' A ' ⇒ V O   O ' A B = 1 3 . B H . S Δ O   O ' A  

Mà   S Δ O   O ' A = 1 2 .   O   O ' . O A = 2 a 2 ⇒ V O   O ' A B = 2 a 2 3   x   B H

Để V O   O ' A B  lớn nhất  ⇔ B H = B O '   H ≡ O ' ⇒ A ' B = 2 a 2

Tam giác AA’B vuông tại A’, có tan   A B A ' ^ = A   A ' A ' B = 2 a 2 a 2 = 1 2  

Vậy A B ; O ' ^ = A B ; A ' B ^ = A B A ' ^ = α ⇒ tan α = 1 2  

Gọi r là bán kính đáy của hình nón ta có OA = r, SO = h và SA = SB = SC = SD = l là đường sinh của hình nón.

Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có:

(2) ⇒ r = 2 lcos α

(1) ⇒ l 2 = h 2 + 2 l 2 cos2 α

⇒  h 2 = l 2 (1 − 2cos2 α )

Do đó 

a,+) Từ A vẽ AH _|_ (BCD) (theo giả thiết AB = AC = AD)

Nên \(\Delta ABH=\Delta ACH=\Delta ADH\)

=> HB = HC = HD

Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

+) Ta có: \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}\) với \(BH=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{3a^2}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

b, Ta có: \(H=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};r=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Diện tích xung quanh hình trụ là:

\(S_{xq}=2\pi rh=2\pi.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{2\pi\pi^2\sqrt{2}}{3}\)

Thể tích khối trụ là:

\(V=\pi r^2h=\pi\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{9}\)

Đáp án D

Ta có: 1 d 2 I ; α = 1 d 2 + 1 h 2  trong đó d là khoảng cách từ tâm của đáy đến giao tuyến của α  và đáy.

Khi đó d = 15 ⇒ độ dài dây cung a = 2 r 2 − d 2 = 40 ;  đường cao thiết diện  = h 2 + d 2 = 25

Do đó A = 1 2 a . h ' = 1 2 .40.25 = 500 c m 2 .