Gỉa sử : \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}< =>ab+ac< ab+bc\)

\(< =>ac< bc< =>a< b\)(đpcm)

Gỉa sử : \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}< =>ab+ac>ab+bc\)

\(< =>ac>bc< =>a>b\)(đpcm)

1) Ta có: \(a< b\Leftrightarrow a\div b< b\div b\)

=> \(\frac{a}{b}< 1\)

2) \(a>b\Leftrightarrow a\div b>b\div b\)

=> \(\frac{a}{b}>1\)

a/ Xét : \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow ab+ad< ab+bc\Rightarrow ad< bc\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) (đúng)

\(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow ad< bc\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) (đúng)

Vậy ta có đpcm

b/ Giả sử các số cần tìm là \(-\frac{1}{3}< x< y< z< -\frac{1}{4}\)

Tìm các số dựa theo ý a)

+ CM \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)

Ta có:\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}=>ad< bc\) (vì b> 0 , d > 0)

                      =>  ad + ab < bc + ab

                      => a(b + d) < b(a+c)

                      => \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(đpcm\right)\) (1)

+ CM \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) => ad < bc

                       => ad + cd < bc + cd

                       => d(a+c) < c(b+d)

                       => \(\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\left(đpcm\right)\)  (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (Với \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) )

b) Viết 3 phân số xen giữa \(-\frac{1}{3}\) và \(-\frac{1}{4}\): -3/10 ; -2/7; -3/11

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow abc=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow abc=a^2b+abc+a^2c+b^2a+abc+b^2c+c^2a+abc+c^2b\)

\(\Leftrightarrow a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a-2abc=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)+c\left(a^2+2ab+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[ab+c^2+c\left(a+b\right)\right]=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+c^2+ac+bc\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)Chúc bạn học tốt!

Phú Quý Lê Tăng ơi! Hình như bn làm lộn dấu 1 bước phải ko? Chỗ đó hình như phải là +2ab mới đúng.

xin lỗi bạn mình gõ nhanh quá nên không để ý!

a) Nếu a/b > 1 thì a/b > b/b

=> a > b

Nếu a > b thì a : b > b : b

=> a/b > 1 ( đpcm)

b) Nếu a/b < 1 thì a/b < b/b

=> a < b

Nếu a < b thì a : b < b : b

=> a/b < 1 ( đpcm)

Khi thêm vào b 4,74 và bớt ở a 4,74 thì tổng 2 số không đổi.

Ta có :

b/a=1/5 => b/tổng=1/6 = 5/30

b+4,74/a-4,74=1/4 => b+4,74/tổng = 1/5 = 6/30

=> 4,74 ứng với : 6 - 5 = 1 (phần)

Tổng của a và b là : 4,74 x 30 = 142,2

Số a là : 142,2 : (1+5) x 5 = 118,5

Số b là : 142,2 - 118,5 = 23,7

                                                                     Đáp số : a:118,5

                                                                                  b:23,7.

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Lại có: \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a^2+b+c\right)}{3}\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3abc\)