a)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác,ta có:

\(\hept{\begin{cases}AB< AM+MB\\AC< AM+MC\\BC< BM+BC\end{cases}}\Rightarrow AB+AC+BC< 2\left(AM+MB+MC\right)\)

b)

Gọi giao điểm của BM cắt AC tại D.

Do điểm M nằm trong tam giác ABC nên D thuộc AC.

\(\Rightarrow AC=AD+DC\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABD có:

BD<AB+AD => MB+MD<AB+AD(1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vao tam giác MDC có:

MC<DC+MD(2)

Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta có:

\(MB+MD+MC< AB+AD+DC+MD\)

\(\Rightarrow MB+MC< AB+\left(AD+DC\right)\)

\(\Rightarrow MB+MC< AB+AC\left(3\right)\)

chứng minh tương tự ta được:\(\hept{\begin{cases}MA+MC< BC+AB\left(4\right)\\MC+MB< AC+BC\left(5\right)\end{cases}}\)

Từ (3);(4):(5) suy ra \(2\left(AB+BC+CA\right)>2\left(MA+MB+MC\right)\)

a: Xét ΔAMB và ΔCMD có

MA=MC

góc AMB=góc CMD

MB=MD

Do đó: ΔAMB=ΔCMD
b: ΔAMB=ΔCMD

nên AB=CD và góc MAB=góc MCD

=>AB//CD

c: Xét tứ giác AKBC có

N là trung điểm chung của AB và KC

nên AKBC là hình bình hành

=>AK//BC

Xét tứ giác ABCD có

M là trung điểm chung của AC và BD

nên ABCD là hình bình hành

=>AD//BC

mà AK//BC

nên D,A,K thẳng hàng

a) có BE là tia p/g của góc ABC

       => góc B₁ = góc B₂ = góc ABC/2 = 60⁰ /2 = 30⁰

  có △ABC vuông tại A => △ABE vuông tại A

         EH⊥BC=> △HBE vuông tại H

Xét △ vuông ABE và △vuông HBE có

             góc B₁ = góc B₂

                    BE chung

=>△ vuông ABE =△vuông HBE ( cạnh huyền - góc nhọn)

b) có △ABE vuông tại A=> góc B₁ + góc E₁ = 90⁰

                                         góc E₁ = 60⁰   ( vì góc B₁ = 30⁰)

có △ vuông ABE =△vuông HBE

    => góc E₁ = góc E₂ 

mà HK//BE => góc E₁ = góc K₁     (ĐV)

                       và góc E₂ = góc H₁ (SLT)

=> góc E₁ = góc E₂ = góc K₁=góc H₁ = 60⁰

 => △HEK đều

c) có góc E₁ = góc E₂ ; góc E₃ = góc E₄

  =>góc E₁ +góc E₄ = góc E₂ + góc E₃

=> góc BEM= góc BEC

Xét △BEM và △ BEC có

             góc B₁ = góc B₂

                   BE chung

          góc BEM= góc BEC

=> △BEM = △ BEC (g.c.g)

=>BM=BC

=>△BMC cân tại B

trong △BMC có BN là đường p/g xuất phát từ đỉnh B

lại có △BMC cân tại B

=> BN cũng là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B

=> N là trung điểm của MC

=> NM=NC

Điểm M ở đâu vậy bạn?

a: Xet ΔAHN và ΔCHM có

AH=CH

góc HAN=góc HCM

AN=CM

=>ΔAHN=ΔCHM

b: Xet ΔAHM và ΔBHN co

AH=BH

góc HAM=góc HBN

AM=BN

=>ΔAHM=ΔBHN

a) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}=90^0-30^0=60^0\)

Ta có: CD là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)(gt)

nên \(\widehat{DCB}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

mà \(\widehat{DBC}=30^0\)(gt)

nên \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)

Xét ΔBCD có \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)(cmt)

nên ΔBCD cân tại D(Định lí đảo của tam giác cân)

Xét ΔACD vuông tại A và ΔHCD vuông tại H có 

CD chung

\(\widehat{ACD}=\widehat{HCD}\)(CD là tia phân giác của \(\widehat{ACH}\))

Do đó: ΔACD=ΔHCD(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: CA=CH(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔCAH có CA=CH(cmt)

nên ΔCAH cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔCHA cân tại C có \(\widehat{ACH}=60^0\)(cmt)

nên ΔCHA đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

b) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AC=AB\cdot\tan\widehat{B}\)

\(\Leftrightarrow AC=5\cdot\tan30^0\)

hay \(AC=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}cm\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=5^2+\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2=\dfrac{100}{3}\)

hay \(BC=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}cm\)

Vậy: \(AC=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}cm\); \(BC=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}cm\)