Do tứ giác ABMM' là hình bình hành nên \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{MM'}\). Từ đó suy ra M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{BA}\). Từ đó suy ra tập hợp các điểm M' là đường tròn (C'), ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{BA}\)

góc AIM+góc AKM=180 độ

=>AIMK nội tiếp

Vẽ hình ra nhé Nguyễn Thu Hà

1. Ta có ÐOMP = 90⁰ ( vì PM ^ AB ); ÐONP = 90⁰ (vì NP là tiếp tuyến ).

Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 90⁰ => M và N cùng nằm trên đường tròn  đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.

2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ÐOPM = Ð ONM (nội tiếp chắn cung OM)

 Tam giác  ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN

=>  ÐOPM = ÐOCM.

Xét hai tam giác  OMC và MOP ta có ÐMOC = ÐOMP = 90⁰; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM lại có MO là cạnh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)

Theo giả thiết Ta có CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).

Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.

3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ÐMOC = 90⁰ ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐMOC =ÐDNC = 90⁰ lại có ÐC là góc chung => DOMC ~DNDC

=>  => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R² không đổi => CM.CN =2R²không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

.

Ta có AH ⊥ DC. Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông. Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng ( α ).

giúp mình phần 4 với

Ai làm giúp với =((

a) ΔOBCΔOBC có OB=OC=ROB=OC=R nên ΔOBCΔOBC cân đỉnh OO,

có OMOM là đường trung tuyến nên OMOM cũng là đường cao

⇒OM⊥CB⇒OM⊥CB

⇒ˆOMB=90o⇒OMB^=90o

Tứ giác AOMKAOMK có ˆOMK+ˆOAK=90o+90o=180oOMK^+OAK^=90o+90o=180o

Do đó AOMKAOMK nội tiếp đường tròn đường kính (OK)(OK)

b) Xét ΔAHNΔAHN có:

OM∥AHOM∥AH (vì cùng ⊥BC⊥BC)

OO là trung điểm của ANAN

⇒OM⇒OM là đường trung bình ΔAHNΔAHN

⇒M⇒M là trung điểm HNHN

Tứ giác BHCNBHCN có hai đường chéo CBCB và HNHN cắt nhau tại MM là trung điểm của mỗi đường

⇒BHCN⇒BHCN là hình bình hành.

c) Ta có ΔACNΔACN nội tiếp đường tròn (O)(O) đường kính ANAN

nên ˆACN=90o⇒CN⊥ACACN^=90o⇒CN⊥AC

Tứ giác BHCNBHCN là hình bình hành

⇒BH∥CN⇒BH∥CN mà CN⊥ACCN⊥AC

⇒BH⊥AC⇒BH⊥AC

Lại có AH⊥BCAH⊥BC

ΔABCΔABC có BHBH và CHCH là 2 đường cao cắt nhau tại HH

nên HH là trực tâm ΔABCΔABC

d) MM là trung điểm cạnh BCBC

Lấy điểm O′O′ đối xứng với OO qua MM do B,CB,C cố định suy ra MM cố đinh suy ra O′O′ cố định

Ta có: OM∥AHOM∥AH (vì vùng ⊥BC⊥BC)

⇒OO′∥AH⇒OO′∥AH,

OMOM là đường trung bình ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′

Do đó AOO′HAOO′H là hình bình hành

⇒O′H=OA=R⇒O′H=OA=R không đổi

Dựng hình bình hành HO′KTHO′KT ta được KT∥O′HKT∥O′H và có KT=O′HKT=O′H nên TT cố định

TH=O′K=OKTH=O′K=OK

Vậy H∈(T;KO)