a)

Gọi ƯCLN của 2n+1 và 3n+1 là d

=> 3(2n+1) - 2(3n+1) chia hết cho d

=> 6n + 3 - 6n - 2 Chia hết cho d

=> 1 Chia hết cho d

=> d=1

Vậy (2n+1;3n+1)=1

b)

Làm t²

a) Gọi ƯCLN(2n+1;3n+1) là d

=> 2n+1 chia hết d; 3n+1 chia hết d

=>2n+1-(3n+1) chia hết cho d

=> 6n +3 -(6n+2) chia hết cho d

=>6n+3-6n-2 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d=1

vậy ƯCLN(2n+1;3n+1) là 1

vậy hai số 2n+1 ; 3n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

b) gọi ƯCLN(12n+3;15n+4) là d

Ta có : 12n+3 chia hết d; 15n+4 chia hết cho d

=> 15n+4-(12n+3) chia hết d

=> 120n+40 -(120n-30) chia hết d

=>120n+40-120n-30 chia hết cho d

=>10 chia hết cho d

=> d thuộc{1;2;5;10}

vì 12n+3 là số lẻ nên không chia hết cho 2 vậy d không bằng 2

vì 15n+4 không có chữ số tận cùng là 5 nên không chia  hết cho 5 => d không bằng 5

vì 12n+3 là số lẻ nên không thể có chữ số tận cùng là 0 nên 12n+3  không chia hết cho 10 => d không bằng 10

=> d=1

vậy ƯCLN(12n+3;15n+4) là 1

vậy 12n+3 ; 15n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(12n-5, 27n-11)$
$\Rightarrow 12n-5\vdots d; 27n-11\vdots d$

$\Rightarrow 9(12n-5)-4(27n-11)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau.

Oh

Gọi d = ƯCLN(12n + 5; 18n + 7)

⇒ (12n + 5) ⋮ d và (18n + 7) ⋮ d

*) (12n + 5) ⋮ d

⇒ 3.(12n + 5) ⋮ d

⇒ (36n + 15) ⋮ d  (1)

*) (18n + 7) ⋮ d

⇒ 2(18n + 7) ⋮ d

⇒ (36n + 14) ⋮ d  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(36n + 15 - 36n - 14) ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d = 1

Vậy 12n + 5 và 18n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

gọi d là ƯCLN[12n+5,18n+7]

⇒12n+5⋮d

   18n+7⋮d

⇒[12n+5].3⋮d

   [18n+7].2⋮d

⇒36n+15⋮d

   36n+14⋮d

⇒{[36n+15]-[36n+14]}⋮d

⇒1⋮d

⇒dϵƯ[1]={1}

⇒d=1

⇒ƯCLN[12n+5,18n+7]=1

⇒ 12n+5 và 18n+7 là số nguyên tố cùng nhau

vậy 12n+5 và 18n+7 là số nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN(12n + 1;30n + 4) = d . Ta có :

  12n + 1 ⋮ d => 5(12n + 1) = 60n + 5 ⋮ d

  30n + 4 ⋮ d => 2(30n + 4) = 60n + 8 ⋮ d

=> (60n + 8) - (60n + 5) ⋮ d

=> 3 ⋮ d => d ∈ Ư(3) ∈ {1;3} ( Vì ƯCLN ko có số nguyên âm)

Mặt khác :12n + 1 không chia hết cho 3 (Vì 12n ⋮ 3 nhưng 1 ko chia hết cho 3)

=> d = 1 . Vậy 2 số sau là 2 số nguyên tố cùng nhau 

Gọi d là ƯCLN_{(12n+1 ; 30n+2)}

=> 6(12n + 1 ) - 2(30n + 2 ) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

Mà 12n+1 lẻ

=> d = 1

Vậy ........

Gọi d là ước của 9n+2 và 12n+3 nên

\(9n+2⋮d\Rightarrow4\left(9n+2\right)=36n+8⋮d\)

\(12n+3⋮d\Rightarrow3\left(12n+3\right)=36n+9⋮d\)

\(\Rightarrow36n+9-\left(36n+9\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> 9n+2 và 12n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯC(9n + 2; 12n + 3)

⇒ 9n + 2 ⋮ d ⇒ 36n + 8 ⋮ d

12n + 3 ⋮ d ⇒ 36n + 9 ⋮ d

⇒ (36n + 9) - (36n - 8) ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d

⇒ d = 1

Vậy 9n + 2 và 12n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau