(Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)

Đặt \(x=b+c-a\) , \(y=a+c-b\), \(z=a+b-c\) thì x , y , z > 0

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{z+y}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(P=\frac{2y+2z}{x}+\frac{9z+9x}{2y}+\frac{8x+8y}{z}\)

\(=\left(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z}\right)\ge2\sqrt{9}+2\sqrt{16}+2\sqrt{36}=26\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2y}{x}=\frac{9x}{2y}\\\frac{2z}{x}=\frac{8x}{z}\\\frac{9z}{2y}=\frac{8y}{z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y^2=9x^2\\2z^2=8x^2\\9z^2=8y^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{z}{2}\\y=\frac{3}{2}x\\z=\frac{4}{3}y\end{matrix}\right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 26 khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{z}{2}\\y=\frac{3}{2}x\\z=\frac{4}{3}y\end{matrix}\right.\)

Chúc bạn học tốt !!

Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{cases}}\Rightarrow x;y;z>0\text{ và }\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=z+x\\c=x+y\end{cases}}\)

Áp dụng AM - GM, ta có:

\(2P=4\left(\frac{y+z}{x}\right)+9\left(\frac{x+z}{y}\right)+16\left(\frac{x+y}{z}\right)\)

\(=\left(4\frac{y}{x}+9\frac{x}{y}\right)+\left(4\frac{z}{x}+16\frac{x}{z}\right)+\left(9\frac{x}{y}+16\frac{x}{z}\right)\ge12+16+24=52\Rightarrow P\ge26\)

\(Đ\text{T}\Leftrightarrow3z=4y=6x\)

Phải là 9z/y + 16y/z chứ ban

ttttttttttttttttttttttt

GTNN=26 NHA BẠN

Ban nen cho phan khac chu khong phai phan giai tri

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}.\left(\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(\left(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z}\right)\right)\)

\(\ge\frac{1}{2}.\left(2.2.3+2.2.4+2.3.4\right)=26\)

nỏ biết

đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)

=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)

nên \(M=\frac{1}{2}\left[\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(z+x\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}\right]\)

            \(=\frac{1}{2}\left(\frac{4y}{x}+\frac{4z}{x}+\frac{9z}{y}+\frac{9x}{y}+\frac{16x}{z}+\frac{16y}{z}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có 

\(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\ge2.\sqrt{\frac{4y.9x}{xy}}=12\)

\(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\ge2\sqrt{\frac{4z.16x}{xz}}=2.8=16\)

\(\frac{16y}{z}+\frac{9z}{y}\ge2\sqrt{\frac{16y.9z}{yz}}=2.12=24\)

cộng vào ta có 

\(M\ge\frac{1}{2}\left(12+16+24\right)=26\)

=> \(M\ge26\)

CÁCH KHÁC NÈ MỌI NGƯỜI !!!!!!

\(M+14,5=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{a+c-b}+4,5+\frac{16c}{a+b-c}+8\)

=> \(M+14,5=\frac{4a+2\left(b+c-a\right)}{b+c-a}+\frac{9b+4,5\left(a+c-b\right)}{a+c-b}+\frac{16c+8\left(a+b-c\right)}{a+b-c}\)

=> \(M+14,5=\frac{2\left(a+b+c\right)}{b+c-a}+\frac{4,5\left(a+b+c\right)}{a+c-b}+\frac{8\left(a+b+c\right)}{a+b-c}\)

=> \(M+14,5=\left(a+b+c\right)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{4,5}{a+c-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)

=> \(M+14,5\ge\frac{\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{4,5}+\sqrt{8}\right)^2}{a+b-c+b+c-a+c+a-b}\)     (BĐT CAUCHY - SCHWARZ)

=> \(M+14,5\ge\frac{a+b+c}{a+b+c}.40,5\)

=> \(M+14,5\ge40,5\)

=> \(M\ge40,5-14,5=26\)

VẬY GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA M LÀ 26.

đề sai ở mẫu cuối nhé

đặt b + c - a = x ; a + c - b = y ; a + b - c = z

\(\Rightarrow a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{2\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{2y}+\frac{8\left(x+y\right)}{z}=\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}+\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z}\)

\(\ge6+8+12=26\)

bài này dấu ' =" giải ra mệt lắm nên bạn tự giải