a.

Do M là trung điểm BH, I là trung điểm AH

\(\Rightarrow IM\) là đường trung bình tam giác ABH

\(\Rightarrow IM||AB\Rightarrow ABMI\) là hình thang

b.

Cũng do IM là đường trung bình tam giác ABH \(\Rightarrow IM=\dfrac{1}{2}AB\)

Mà E là trung điểm CD \(\Rightarrow CE=\dfrac{1}{2}CD\)

Do ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=CD\\AB||CD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IM=CE\\IM||CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow IMCE\) là hình bình hành

c.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}IM||AB\left(cmt\right)\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow IM\perp BC\)

Lại có \(BH\perp AC\Rightarrow BH\perp IC\)

\(\Rightarrow M\) là giao điểm 2 đường cao của tam giác IBC

\(\Rightarrow M\) là trực tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow CM\) là đường cao thứ 3 hay \(CM\perp IB\)

Lại có \(CM||IE\) (do IMCE là hbh)

\(\Rightarrow IE\perp IB\Rightarrow\Delta IBE\) vuông tại I

\(\Rightarrow IG\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(\Rightarrow IG=\dfrac{1}{2}BE\) 

\(\Delta BCE\) vuông tại C có \(CG\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(\Rightarrow CG=\dfrac{1}{2}BE\)

\(\Rightarrow CG=IG\) hay tam giác ICG cân tại G

d.

Từ K hạ \(KF\) vuông góc đường thẳng CD (F thuộc đường thẳng CD)

\(\Rightarrow KF||BC\) (cùng vuông góc CD)

\(\Rightarrow\widehat{BKF}=\widehat{HBC}\) (đồng vị) (1)

Lại có \(\widehat{HBC}=\widehat{BAC}\) (cùng phụ \(\widehat{ACB}\)) (2)

\(\widehat{BAC}=\widehat{CDB}\) (tính chất hình chữ nhật) (3)

Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{BKF}=\widehat{CDB}\) (4)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BK=AC\left(gt\right)\\AC=BD\left(\text{hai đường chéo hcn}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow BK=BD\Rightarrow\Delta BDK\) cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BDK}\) (5)

(4);(5) \(\Rightarrow\widehat{BKF}+\widehat{BKD}=\widehat{CDB}+\widehat{BDK}\)

\(\Rightarrow\widehat{FKD}=\widehat{FDK}\)

\(\Rightarrow\Delta DKF\) vuông cân tại F

\(\Rightarrow\widehat{FDK}=45^0\) hay \(\widehat{KDC}=45^0\)

a: Xét ΔHAB có 

N là trung điểm của HB

M là trung điểm của HA

Do đó: NM là đường trung bình của ΔAHB

Suy ra: \(NM=\dfrac{AB}{2}=2\left(cm\right)\)

a) Xét tam giác AHB có:

M,N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AH,BH (gt).

\(\Rightarrow\) MN là đường trung bình.

\(\Rightarrow\) MN // AB (Tính chất đường trung bình trong tam giác).

b) Xét tam giác AHB có: MN là đường trung bình (cmt).

\(\Rightarrow\) MN = \(\dfrac{1}{2}\) AB (Tính chất đường trung bình trong tam giác).

Mà AB = CD (ABCD là hình chữ nhật).

\(\Rightarrow\) MN = \(\dfrac{1}{2}\) AB = \(\dfrac{1}{2}\) CD.

Vì ABCD là hình chữ nhật (gt). \(\Rightarrow\) AB // CD (Tính chất hình chữ nhật).

Mà MN // AB (cmt).

\(\Rightarrow\) MN // AB // CD.

Xét tứ giác MNED:

+ MN // DE (MN // CD).

+ MN = DE (cùng = \(\dfrac{1}{2}\) CD).

\(\Rightarrow\) Tứ giác MNED là hình bình hành (dhnb).

a: Xét ΔHAB có

M là trung điểm của HA

N là trung điểm của HB

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AB và MN=AB/2

=>MN//PC và MN=PC

=>NCPM là hình bình hành

b; Xét ΔBMC có

BH là đường cao

MN là đường cao

BH cắt MN tại N

DO đó:N là trực tâm

=>CN vuông góc với BM

=>BM vuông góc với MP

hay góc BMP=90 độ

a) Xét tứ giác ADHE có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=90^o\\\widehat{HDA}=90^o\\\widehat{HEA}=90^o\end{matrix}\right.\)

=> ADHE là h.c.n

b) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BID}=2\widehat{IHD}\\\widehat{IKE}=2\widehat{KCE}\end{matrix}\right.\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{KCE}\)

=> \(\widehat{BID}=\widehat{IKE}\) mà 2 góc có vị trí đồng vị

=> DI//EK

=> DEKI là hình thang