voi moi so a b c tuy y. CMR: a^2 + b^2 + c^2 > hoac = 2ab - 2ac + 2bc
voi a,b,c>0 CMR:
a3+b3/2ab + b3+c3/2bc + c3+a3/2ac > hoac = a+b+c
Please help me!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Đặt \(A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
Với mọi \(a,b,c>0\) thì ta có bất đẳng thức luôn đúng với điều kiện trên như sau:
\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2;\) \(b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\) và \(b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\)
Khi đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh, tức biểu thức \(A\) sẽ trở thành:
\(A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge\frac{a^2b+ab^2}{2ab}+\frac{b^2c+bc^2}{2bc}+\frac{c^2a+ca^2}{2ca}=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c\)
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Cho 3 so thuc a b c \(\ne0\)thoa man \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\). CMR
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ac}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}\)
cmr (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
cmr ( a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
Biến đổi vế trái ta có
(a+b+c)^2 = (a+b + c)( a+b+c) = a(a+b + c) + b(a+b+c ) + c (a+b+c )
= a^2 + ab +ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2
= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac => ĐPCM
Ta có:
(a + b + c)2 = (a + b + c)(a + b + c)
= a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (đpcm)
Vậy (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
cho a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2. CMR: a^2/(a^2+2bc)+b^2/(b^2+2ac)+c^2/(c^2+2ab)=1
Ta có a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2
<=> ab + bc + ca = 0
<=> \(\hept{\begin{cases}ab=-bc-ca\\bc=-ac-ab\\ca=-ab-bc\end{cases}}\)
Khi đó a2 + 2bc = a2 + bc + bc = a2 + bc - ac - ab = (a - b)(a - c)
Tương tư b2 + 2ac = (b - a)(b - c)
c2 + ab = (c - a)(c - b)
Khi đó \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{-a^2\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{-b^2\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{-a^2b+a^2c-b^2c+b^2a-c^2a+c^2b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)(đpcm)
cho a,b,c>0 và \(a+b+c\le1\)
cmr \(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác
CMR a^2 + b^2 + c^2 < 2ab + 2bc + 2ac
Cho a,b,c thuộc R CMR \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge1\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)=1
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c