a + 2 chia hết cho 2 và lớn hơn 2 nên là hợp số

a + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

a + 4 chia hết cho 4 và lớn hơn 4 nên là hợp số

....

a + 25 chia hết cho 25 và lớn hơn 25 nên là hợp số

Do \(25\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow25^2\equiv1\left(mod4\right)\)

Tương tự \(25^3\equiv1\left(mod4\right)25^4\equiv1\left(mod4\right);......;25^{99}\equiv1\left(mod4\right)\)

Khi đó \(A=25+25^2+25^3+.....+25^{99}\equiv99\left(mod4\right)\equiv3\left(mod4\right)\)

Vậy A không là số chính phương vì A chia 4 dư 3.

Do \(25\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow25^2\equiv1\left(mod4\right)\)

Tương tự \(25^3\equiv1\left(mod4\right)25^4\equiv1\left(mod4\right);......;25^{99}\equiv1\left(mod4\right)\)

Khi đó \(A=25+25^2+25^3+.....+25^{99}\equiv99\left(mod4\right)\equiv3\left(mod4\right)\)

Vậy A không là số chính phương vì A chia 4 dư 3.

a) Ta có: \(\dfrac{25^{28}+25^{24}+25^{20}+...+25^4+1}{25^{30}+25^{28}+...+25^2+1}\)

\(=\dfrac{25^{24}\left(25^4+1\right)+25^{16}\left(25^4+1\right)+...+\left(25^4+1\right)}{25^{28}\left(25^2+1\right)+25^{24}\left(25^2+1\right)+...+\left(25^2+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(25^4+1\right)\left(25^{24}+25^{16}+25^8+1\right)}{\left(25^2+1\right)\left(25^{28}+25^{24}+...+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(25^4+1\right)\cdot\left[25^{16}\left(25^8+1\right)+\left(25^8+1\right)\right]}{\left(25^2+1\right)\left[25^{24}\left(25^4+1\right)+25^{16}\left(25^4+1\right)+25^8\left(25^4+1\right)+\left(25^4+1\right)\right]}\)

\(=\dfrac{\left(25^4+1\right)\left(25^8+1\right)\left(25^{16}+1\right)}{\left(25^2+1\right)\left(25^4+1\right)\left(25^{24}+25^{16}+25^8+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(25^8+1\right)\left(25^{16}+1\right)}{\left(25^2+1\right)\left[25^{16}\left(25^8+1\right)+\left(25^8+1\right)\right]}\)

\(=\dfrac{\left(25^8+1\right)\left(25^{16}+1\right)}{\left(25^2+1\right)\left(25^8+1\right)\left(25^{16}+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{25^2+1}=\dfrac{1}{626}\)

Ta có bất đẳng thức phụ sau (bđt Mincopski)

\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\left(x;y;z;t\inℝ\right)\)

Thật vậy :

 \(bđt\Leftrightarrow x^2+y^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}+z^2+t^2\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2}\ge xz+yt\)

*Nếu xz + yt < 0 thì bđt hiển nhiên đúng

*Nếu xz + yt > 0 thì bđt trở thành 

\(x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\ge x^2z^2+2xyzt+y^2t^2\)

\(\Leftrightarrow x^2t^2-2xyzt+y^2z^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xt-yz\right)^2\ge0\)(ĐÚng)

Vậy bđt được chứng minh

Áp dụng bđt trên 2 lần ta được

\(P\ge\sqrt{\left(5+5\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}+\sqrt{25+c^4}\)

   \(\ge\sqrt{\left(5+5+5\right)^2+\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

   \(=\sqrt{225+\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Bài toán quay về tìm \(min\left(a^2+b^2+c^2\right)\)biết \(2\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca=18\)

Ta có bđt phụ sau \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(Tự chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé)

        \(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Đặt \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=t\left(t\ge0\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3t}\)

Lại có bđt phụ sau \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2=\frac{t}{3}\)

Tóm lại ta thu được 2 bđt sau \(\hept{\begin{cases}a+b+c\le\sqrt{3t}\\ab+bc+ca\le\frac{t}{3}\end{cases}}\)

Ta có \(18=2\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca\le2\sqrt{3t}+\frac{t}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{t}{3}+2\sqrt{3t}-18\ge0\)

\(\Leftrightarrow t+6\sqrt{3t}-54\ge0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{t}\le-9-3\sqrt{3}\left(Loa_.i\cdot do\cdot\sqrt{t}\ge0\right)\\\sqrt{t}\ge9-3\sqrt{3}\left(Tm\right)\end{cases}}\)

Có \(\sqrt{t}\ge9-3\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge9-3\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge108-54\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge36-18\sqrt{3}\)

Quay trở lại bài toán \(P\ge\sqrt{225+\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\ge\sqrt{225+\left(36-18\sqrt{3}\right)^2}\)

Dấu "=" xảy ra tại a = b = c

P/S: sai đâu thì thôi nha :v a lười ktra lại lắm

\(0< a< \dfrac{pi}{2}\)

=>\(sina>0\)

\(sin^2a+cos^2a=1\)

=>\(sin^2a=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}\)

=>\(sina=\dfrac{3}{5}\)

\(sin2a=2\cdot sina\cdot cosa=2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}\)

=>Chọn B

Bài 1:

a) \(\frac{5^2.6^{11}.16^2+6^2.11^6.15^2}{2.6^{12}.10^{14}-81^2.960^3}=\frac{5^2.2^{19}.3^{11}+2^2.3^4.11^6.5^2}{2^{27}.3^{12}.5^{14}-3^{11}.2^{18}.5^3}\)

\(=\frac{5^2.2^2.3^4.\left(2^{17}.3^7+11^6\right)}{2^{18}.3^{11}.5^3.\left(2^9.3.5^{11}-1\right)}=\frac{2^{17}.3^7+11^6}{2^{16}.3^7.5.\left(2^9.3.5^{11}-1\right)}\)

b) Đặt A = 25²⁸ + 25²⁴ +....+ 25⁴ +1

=> 25⁴.A = 25³² + 25²⁸ +...+ 25⁸ + 25⁴

=> 25⁴.A - A = 25³² -1

\(A=\frac{25^{32}-1}{25^4-1}\)

tương tự....

Thay vào:

 \(\frac{25^{28}+25^{24}+...+25^4+1}{25^{30}+25^{28}+...+25^2+1}=\frac{\frac{25^{32}-1}{25^4-1}}{\frac{25^{32}-1}{25^2-1}}=\frac{25^2-1}{25^4-1}\)

bn làm kiểu g vậy mk ko hiểu