cho x,y,z\(\in\)N*
CMR1 bé hơn \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\)bé hơn 2
Những câu hỏi liên quan
cho các số x,y,z đôi một khác nhau sao cho 0 bé hơn hoặc bằng x<y<z bé hơn hoặc bằng 2
Tìm min \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}\)
với các số thực dương x,y,z x+y+z bé hơn hoặc bằng 3/2. Min
Q=\(\frac{x}{y^2z}+\frac{y}{z^2x}+\frac{z}{x^2y}+\frac{x^5}{y}+\frac{y^5}{z}+\frac{z^5}{x}\)
\(Q=\Sigma\frac{x^2}{xy^2z}+\frac{x^5}{y}+\frac{y^5}{z}+\frac{z^5}{x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+4\sqrt[4]{\frac{x^5y^5z^5}{xyz}.\frac{1}{16}}-\frac{1}{16}\)
\(=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+2xyz-\frac{1}{16}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+32xyz+32xyz-62xyz-\frac{1}{16}\)
\(\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{\left(xyz\right)^2}.32^2\left(xyz\right)^2}-\frac{62}{27}\left(x+y+z\right)^3-\frac{1}{16}=20-\frac{31}{4}-\frac{1}{16}=\frac{195}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
cho x, y, z là các số dương và \(x+Y+z=1\)cmr \(\frac{x}{1-z}+\frac{y}{1-z}+\frac{z}{1-y}\)bé hơn 2
Tìm giá trị bé nhất của biểu thức :
\(A=\frac{x}{y+z+t}+\frac{y}{z+t+x}+\frac{z}{t+x+y}+\frac{y+z+t}{x}+\frac{z+t+x}{y}+\frac{x+y+z}{t}\)
Trong đó x,y,z thay đổi nhưng luôn dương
Cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1 Chứng minh \(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\)
Cho x>0, y>0,z>0,xyz=1. CMR \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\) lớn hơn hoặc bằng 2
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)
=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)+ \(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)
Do đó:
P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)
<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)
Dấu = khi x=y=z=1.
Đúng 0
Bình luận (0)
cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1. cm: \(\frac{x^2+1}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge2\)
Đặt vế trái là P
Ta có: \(P\ge\frac{x^2+1}{1+\frac{y^2+1}{2}+z^2}+\frac{y^2+1}{1+\frac{z^2+1}{2}+x^2}+\frac{z^2+1}{1+\frac{x^2+1}{2}+y^2}\)
Đặt \(\left(x^2+1;y^2+1;z^2+1\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a;b;c\ge1\)
\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}=2\left(\frac{a^2}{ab+2ac}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\right)\)
\(P\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{6\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Tìm minP
\(P=\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\)
p= 1+2 : 1 + 3 x 2 +1 + 2 : 1 + 3 + 4 + 1 +2 : 1 + 2 + 3
= 30
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x;y;z > 0 và xy+yz+zx = 3 .
CMR : \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}+\frac{y^4+z^4}{y^2+z^2}+\frac{z^4+x^4}{z^2+x^2}\) lớn hơn hoặc bằng 3
Ta chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)
Tương tự và cộng lại
\(\Rightarrow VT\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz=3\)
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh kiểu j vậy bạn ? , Chỉ mình rõ hơn được không ?
Đúng 0
Bình luận (0)