Đáp án A.

Cách 1: Gọi P là giao điểm của  BN và A'B'=>P là trọng tâm Δ A ' B ' B .

Q là giao điểm của CM và A'C'=>Q là trọng tâm  Δ A ' C ' C

⇒ P Q / / B ' C '  Ta có A B ' C ' ∩ B C M N = P Q .

Gọi H là trung điểm của B'C' và I là giao điểm của AH và PQ.

I là trung điểm của PQ.

Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại J và K

=>J là trung điểm BC và K là trung điểm MN.

Ta có   A B ' = A C ' ⇒ Δ A B ' C ' cân tại A ⇒ A H ⊥ B C ⇒ A I ⊥ P Q .

Lại có I J ⊥ P Q ⇒  Góc giữa A B ' C ' và   B C M N là góc giữa IJ và IA.

Ta có:

A C ' = A C 2 + C C ' 2 = 2 3 2 + 2 2 = 4

⇒ A H = A C ' 2 − H C ' 2 = 4 2 − 3 2 = 13 ⇒ A I = 2 3 A H = 2 13 3

B N = B B ' 2 + B ' N 2 = 2 2 + 3 2 = 7

K J = N E = B N 2 − E B 2 = 7 − 3 4 = 5 2 ⇒ I J = 2 3 K J = 5 3

Lại có A J = 2 3 . 3 2 = 3

Trong  Δ A I J   :

cos A I J ^ = I J 2 + I A 2 − A J 2 2. I J . I A = 25 9 + 4.13 9 − 9 2. 5 3 . 2 13 3 = − 13 65 .

 Cosin của góc giữa A B ' C '  và  B C M N   là  13 65

Cách 2: (Tọa độ hóa)

Gọi T là trung điểm AC. Đặt  M = 0 ; 0 ; 0 , B ' 3 ; 0 ; 0 , C ' 0 ; 3 ; 0 , T 0 ; 0 ; 2

⇒ A 0 ; − 3 ; 2 , B 3 ; 0 ; 2 , C 0 ; 3 ; 2 ⇒ M B → = 3 ; 0 ; 2 , M C → = 0 ; 3 ; 2

  n → = M B → , M C → = 2 3 ; 6 ; 6 3 là một vecto pháp tuyến của .

Lại có   A B ' → = 3 ; 3 ; − 2 , A C ' → = 0 ; 2 3 ; − 2

  ⇒ n ' → = A B → , A C → ' = 2 3 ; 6 ; 6 3 là một vecto pháp tuyến của A B ' C ' .

Gọi α  là góc giữa A B ' C '  và M N B C .

Ta có:

cos α = cos n → ; n ' → ^ = − 2 3 .2 3 + − 6 .6 + 3 3 .6 3 − 2 3 2 + − 6 2 + 3 3 2 . 2 3 2 + 6 2 + 6 3 2 = 13 65

Đáp án C

 Ta có 

B C ⊥ A C , B C ⊥ A A ' ⇒ B C ⊥ A ' A C C ' ⇒ B C ⊥ A ' C .

Suy ra

A ' C B , A B C ^ = A ' C , A C ^ = A ' C A ^ = x , 0 < x < π 2 .  

Δ A ' A C  vuông tại B nên 

A A ' = A ' C . sin A ' C A ^ = a sin x ; A C = a cos x .

Suy ra 

V A ' . A B C = 1 3 . A A ' . S Δ A B C = 1 3 . a sin x . a cos x 2 2 = a 3 6 sin x cos 2 x .

Xét hàm số

f x = sin x cos 2 x = sin x 1 − sin 2 x trên 0 ; π 2 .  

Đặt t = sin x , do x ∈ 0 ; π 2 ⇒ t ∈ 0 ; 1 . Xét hàm số   g t = t 1 − t 2  trên  0 ; 1 .

Ta có

f ' t = 1 − 3 t 2 ; f ' t = 0 ⇔ t = ± 1 3 .

Do t ∈ 0 ; 1 nên  t = 1 3 .

Lập bảng biến thiên, suy ra max x ∈ 0 ; π 2 f x = max t ∈ 0 ; 1 g t = g 1 3 = 2 3 9 .  

Vậy V max = a 3 6 . 2 3 9 = a 3 3 27  (đvtt).

Đáp án A

Từ I dựng IH AC  IH // AA'
lại có AA'  (ABC) nên HI  (ABC) .
AC//A'B'  CI/AI=AC/A'M=1/2
do đó IH/AA'=1/3
V(IABC)=1/3.IH.S(ABC)=1/3.2/3AA'.S(ABC)=2/9V(ABCA'B'C')=2/9.2a.1/2.a.2a=4/9a^3
BC AB và BC  AA'  BC  A'B
A'B==a
=arctan(A'B/BC)
IC/IA'=2/3 IC=2a
S(IBC)=BC.CI.1/2.sin(arctan(A'B/BC))
Từ đó d(A,IBC)=3.V(IBCA)/S(IBC)

Hạ \(IH\perp AC,\left(H\in AC\right)\Rightarrow IH\perp\left(ABC\right)\)

IH là đường cao của tứ diện IABC

Suy ra IH//AA' \(\Rightarrow\frac{IH}{AA'}=\frac{CI}{CA'}=\frac{2}{3}\)

                       \(\Rightarrow IH=\frac{2}{3}AA'=\frac{4a}{3}\)

\(AC=\sqrt{A'C-A'A^2}=a\sqrt{5;}BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=2a\)

Diện tích tam gia ABC : \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=a^2\)

Vậy thể tích của khối tứ diện IABC : \(V=\frac{1}{3}IH.S_{\Delta ABC}=\frac{4a^3}{9}\)

Hạ \(AK\perp A'B\left(K\in A'B\right)\)

Vì \(BC\perp\left(ABB'A\right)\) nên \(AK\perp BC\) suy ra \(AK\perp\left(IBC\right)\)
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng )IBC) là AK

\(AK=\frac{2S_{\Delta AA'B}}{A'B}=\frac{AA'.AB}{\sqrt{AA'^2+AB^2}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)

Chọn C

Gọi M là trung điểm của BC 

=> AM  ⊥ BC (1) 

Ta có  B C   ⊥ A M B C   ⊥ A A ' ⇒   B C   ⊥   A ' M   ( 2 )

Mặt khác  A B C   ∩ A ' B C   =   B C   ( 3 )

a) Do MM' lần lượt là trung điểm của BC và B'C' nên M'M//BB'//CC'. Vì vậy MM'//AA'.
Vì vậy tứ giác A'M'MA là hình bình hành. Suy ra: AM//A'M'.
b) Trong mp (AA'M'M), ta có: MA' ∩ AM' = K.
     Do \(K\in A'M\)  và \(A'M\in\left(AB'C'\right)\) nên K (AB'C').

c) Có \(O=AB'\cap A'B\) nên \(O\in\left(AB'C'\right)\cap\left(BA'C'\right)\).
 Suy ra: \(d\equiv CO'\).

d) Trong (AB'C'): C'O ∩ AM' = G vì vậy G ( AMM') . Mà O, M' lần lượt là trung điểm AB' và B'C' nên G là trọng tâm của tam giác AB'C'.

Đáp án D

Gọi M là giao điểm của AI và BC; gọi N là giao điểm của A'J và B'C'. Suy ra M,N lần lượt là trung điểm của BC,B'C'.

Ta có M N / / B B ' A A ' / / B B ' ⇒ M N / / A A ' . Mặt khác M N = B B ' ⇒ M N = A A ' .

Từ hai dữ kiện trên suy ra AMNA' là hình bình hành. Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (ẠIJ) và hình lăng trụ là hình bình hành.

Đáp án D.