Ta có: \(M=3^{2012}-3^{2011}+3^{2010}-3^{2009}\)

\(=\left(3^{2012}+3^{2010}\right)-\left(3^{2011}+3^{2009}\right)\)

\(=3^{2010}\cdot\left(3^2+1\right)-3^{2009}\left(3^2+1\right)\)

\(=\left(3^2+1\right)\cdot\left(3^{2010}-3^{2009}\right)\)

\(=10\cdot3^{2009}\cdot\left(3-1\right)⋮10\)(đpcm)

A chia hết cho 2 sẵn rồi 

CM A chia hết cho 30:

\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+2^4\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+....+2^{96}\left(2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=30.\left(1+2^4+...+2^{96}\right)⋮30\)

Gợi ý;

B chia hết cho 5 sắn rồi

chia hết cho 6 nhóm 2 số vào

Chi hết cho 31 nhóm 3 số vào

A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^100

vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 2 

=> A chia hết cho 2

vậy_

B1 a, a^3 - a = a.(a^2-1) = (a-1).a.(a+1) chia hết cho 3 

b, a^7-a = a.(a^6-1) = a.(a^3-1).(a^3+1)

Ta thấy số lập phương khi chia 7 dư 0 hoặc 1 hoặc 6

+Nếu a^3 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 1 thì a^3-1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

+Nếu a^3 chia 7 dư 6 => a^3+1 chia hết cho 7 => a^7-a chia hết cho 7

Vậy a^7-a chia hết cho 7

b,  a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

a^7-a=a(a^6-1) 
=a(a^3+1)(a^3-1) 
=a(a+1)(a^2-a+1)(a-1)(a^2+a+1) 
=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) 
=a(a-1) (a+1) (a^2-a+1-7) (a^2+a+1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
=a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2+a-1) 
+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) 
có: 7a(a-1) (a+1) (a^2+a-1)+7a (a-1) (a+1) (a^2-a-6) chia hết cho 7 (cùng có nhân tử 7) 
ta cần chứng minh: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) chia hết cho 7 
thật vậy: a(a-1) (a+1) (a^2-a-6) (a^2+a+1-7) 
=a(a-1) (a+1) [(a+2)(a-3)] [(a-2)(a+3)] 
=(a-3) (a-2) (a-1) a (a+1) (a+2) (a+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. 
trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7,1 số dư 1,1 số dư 2,....và 1 số dư 6 khi chia cho 7 

b, với m lẻ từ hằng đẳng thức đáng nhớ ta có 
a^m+b^m=(a+b) {a^(m-1)-[a^(m-2)]b+...-a.[b^(m-2)]+b^(m... chia hết cho a+b 
 

1)

a)\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)

Vì \(3\left(1+3^2+3^4+3^6+.....+3^{1990}\right)\)chia hết cho 3 nên \(B⋮3\)

\(B=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^{1991}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(3+3^3+3^5+3^7\right)+.....+\left(3^{1988}+3^{1989}+3^{1990}+3^{1991}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3\left(1+3^2+3^4+3^6\right)+.....+3^{1988}\left(1+3^2+3^4+3^6\right)\)

\(\Leftrightarrow B=3.820+.....+3^{1988}.820\)

\(\Leftrightarrow B=3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\)

Vì \(3.20.41+.....+3^{1988}.20.41\) chia hết cho 41 nên \(B⋮41\)

ai trả lời nhanh thì tôi k cho nhiều nhất

Ta có : \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

             \(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

              \(=\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)

             \(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)

              \(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{50}\right)\)

              \(=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{100}\)

\(B=\frac{2015}{51}+\frac{2015}{52}+...+\frac{2015}{100}\)

    \(=2015\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{B}{A}=\frac{2015\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{100}\right)}{\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{100}}=2015\)

\(\Rightarrow\) \(B⋮A\)