Dạng tổng quát: Với n là các số lẻ lớn hơn hoặc bằng 3 thì \(\frac{1}{n\sqrt{n-2}+\left(n-2\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n-2\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n-2\right)}.\frac{2}{\sqrt{n}-\sqrt{n-2}}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-2}}{2\sqrt{n\left(n-2\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n-2}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\)Áp dụng, ta được: \(C=\frac{1}{3\sqrt{1}+1\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+...+\frac{1}{121\sqrt{119}+119\sqrt{121}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{119}}-\frac{1}{\sqrt{121}}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{11}\right)=\frac{5}{11}\)Vậy C = ⁵/₁₁

Xét :\(\frac{1}{\left(a+2\right)\sqrt{a}+a\sqrt{a+2}}=\frac{1}{\sqrt{a}.\sqrt{a+2}\left(\sqrt{a+2}+\sqrt{a}\right)}=\frac{\sqrt{a+2}-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}.\sqrt{a+2}}=\frac{1}{2\sqrt{a}}-\frac{1}{2\sqrt{a+2}}\)

Xét: 

\(C=\frac{1}{3\sqrt{1}+1\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+...+\frac{1}{121\sqrt{119}+119\sqrt{121}}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{2\sqrt{5}}-\frac{1}{2\sqrt{7}}+...+\frac{1}{2\sqrt{119}}-\frac{1}{2\sqrt{121}}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{121}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.11}=\frac{5}{11}\)

Chứng minh với mọi số nguyên dương, ta có:

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\text{[}\left(n+1\right)\sqrt{n}\text{]}^2-\left(n\sqrt{n+1}\right)^2}\)\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\text{ }\left(n+1\right)^2.n-n^2.\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)n\left(n+1-n\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng: Tính B=....

\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\left(\frac{-1}{\sqrt{120}}\right)+\frac{1}{\sqrt{120}}-\frac{1}{\sqrt{121}}=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}\)

Lời giải:

Xét số hạng tổng quát của tổng trên:

\(\frac{n+(n+2)+\sqrt{n(n+2)}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}=\frac{(2n+2+\sqrt{n(n+2)})(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+2})(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})}\)

\(=\frac{(n+2)\sqrt{n+2}-n\sqrt{n}}{2}\)

Áp dụng vào bài:

\(P=\frac{3\sqrt{3}-1}{2}+\frac{5\sqrt{5}-3\sqrt{3}}{2}+\frac{7\sqrt{7}-5\sqrt{5}}{2}+...+\frac{121\sqrt{121}-119\sqrt{119}}{2}\)

\(=\frac{121\sqrt{121}-1}{2}=665\)

Bạn lưu ý lần sau viết đầy đủ yêu cầu của đề bài.

p=2 cho tớ 2 **** nữa hết âm đi

p=2

ai tick với kìa 

Xét \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}a>0\)

Ta có: \(A^2=1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}=\frac{a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2+a^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)

\(\frac{a^4+2a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}=\frac{\left(a^2+a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)

Vì a>0, D>0  nên \(A=\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)

Áp dụng ta có: \(D=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}\)

\(=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)=100-\frac{1}{100}=99,99\)

Sao tổng này không thấy quy luật đâu hết mà dùng dấu ... vậy?

tui làm đc ròi ạ

Làm được rùi đặt câu hỏi làm j

Dạng tổng quát ta càn chứng minh \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}\)

Ta có \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{a^4+2a^3b+a^2b^2+2ab^3+b^4}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{a^2+ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\right)^2}\)

\(=\frac{a^2+ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\frac{1}{b}+\frac{b}{a\left(a+b\right)}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}\left(đpcm\right)\)

Áp dụng dạng trên ta được 

\(D=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(D=100-\frac{1}{100}=\frac{9999}{100}\)

Xét biểu thức \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}\)với a > 0

\(A^2=1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}=\frac{a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2+a^2}{a^2\left(a+1\right)^2}=\frac{a^2\left(a^2+2a+1+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}=\frac{a^4+2a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}=\frac{\left(a^2+a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}=\left[\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}\right]^2\)Do a > 0 nên A > 0 và \(A=\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)

Do đó \(D=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+...+\left(1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)=99+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)=100-\frac{1}{100}=99,99\)

a).  \(\frac{1}{\sqrt{5-\sqrt{7}}}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5+\sqrt{7}}})-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{25-\sqrt{49}}}-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{25-7}}-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{18}}-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3\sqrt{2}}-1\) 

ĐẾN ĐÂY BN QUY ĐỒNG LÀ ĐC