Ta có: \(2a^2+a=3b^2+b\)

\(\Leftrightarrow\left(2a^2-2b^2\right)+\left(a-b\right)=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)

*CM 2a+2b+1 và a-b nguyên tố cùng nhau

=> 2a+2b+1 cũng là 1 SCP

Ta có: 

\(2a^2+a=3b^2+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2b^2+a-b=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)

Ta có: 

Đặt \(d=\left(a-b,2a+2b+1\right)\).

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b⋮d\\2a+2b+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2⋮d^2\Rightarrow b⋮d\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)+b=a⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2a+2b+1\right)-2a-2b=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Do đó \(a-b,2a+2b+1\)là hai số chính phương. 

Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).

Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).

Khi đó ta cần chứng minh:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)

\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)

\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)

Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)

\(\Rightarrow ax\ge1\)

Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).

Để chứng minh rằng √(a-b) và √(3a+3b+1) là các số chính phương, ta sẽ điều chỉnh phương trình ban đầu để tìm mối liên hệ giữa các biểu thức này. Phương trình ban đầu: 2^(2+a) = 3^(2+b) Ta có thể viết lại phương trình theo dạng: (2^2)^((1/2)+a/2) = (3^2)^((1/2)+b/2) Simplifying the exponents, we get: 4^(1/2)*4^(a/2) = 9^(1/2)*9^(b/2) Taking square roots of both sides, we have: √4*√(4^a) = √9*√(9^b) Simplifying further, we obtain: 22*(√(4^a)) = 32*(√(9^b)) Since (√x)^y is equal to x^(y/), we can rewrite the equation as follows: 22*(4^a)/ = 32*(9^b)/ Now let's examine the expressions inside the square roots: √(a-b) can be written as (√((22*(4^a))/ - (32*(9^b))/)) Similarly, √(3*a + 3*b + ) can be written as (√((22*(4^a))/ + (32*(9^b))/)) We can see that both expressions are in the form of a difference and sum of two squares. Therefore, it follows that both √(a-b) and √(3*a + 3*b + ) are perfect squares.

Ta có: 

\(a^2+b^2+4=2ab+4a+4b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+4-2ab-4b+4a=8a\)

\(\Rightarrow\left(a-b+2\right)^2=8a\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{\left(a-b+2\right)^2}{16}=\left(\frac{a-b+2}{4}\right)^2\)

=> \(\frac{a}{2}\)là số chính phương.

Sao lại bằng 8a chỗ đấy ạ. Bạn giải thích hộ mình với

\(a^2+b^2+4=2ab+4a+4b\)

Chuyển vế:

\(a^2+b^2+4-2ab-4b=4a\)

Thêm 4a vào 2 vế

\(a^2+b^2+4-2ab-4b+4a=4a+4a\)

\(a^2+b^2+4-2ab-4b+4a=8a\)

a/ Ta có: `2a = 3b => a/3 = b/2`

Đặt `a/3 = b/2 = k`   \(\left(k\ne0\right)\)

`=> a = 3k ; b = 2k`

`=> M =`\(\dfrac{\left(3k\right)^3-2.3k.\left(2k\right)^2+\left(2k\right)^3}{\left(3k\right)^2.2k+3k.\left(2k\right)^2+\left(2k\right)^3}=\dfrac{27k^3-24k^3+8k^3}{18k^3+12k^3+8k^3}=\dfrac{11k^3}{38k^3}=\dfrac{11}{38}\)

Vậy `M = 11/38`.

b/ Giả sử tồn tại số chính phương `a^2` có tổng các số tự nhiên là 20142015

Vì \(20142015⋮3\) nên \(a^2⋮3\)

\(\Rightarrow a^2⋮3^2\)

\(\Rightarrow a^2⋮9\)

Mà \(20142015⋮9̸\Rightarrow a^2⋮9̸\) (vô lí)

`=>` Không tồn tại số chính phương `a^2` nào có tổng các số tự nhiên là 20142015

\(\Rightarrow\) 1 số tự nhiên có tổng các chữ số là `20142015` không phải là số chính phương   (đpcm)

https://olm.vn/hoi-dap/detail/92192540983.html

Câu hỏi của La Văn Lết - Toán lớp 8

Bạn tham khảo ở đây nhé

Câu hỏi của La Văn Lết - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em thma khảo bài làm tại link này nhé!

Giải hẳn hoi coi... bên kia xem ko hiểu mới đăng lên chứ!!

Có bổ đề sau: \(a^2=pq\) với \(a,p,q\in Z^+\) và \(\left(p,q\right)=1\) thì p,q là hai số chính phương

\(2a^2-2b^2+a-b=b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)(*)
Gọi d là UWCLN của a-b và 2a+2b+1 ta có từ (*) b chia hết d.

a-b chia hết cho d nên 2a-2b chia hết cho d . Vậy 2a+2b+1-(2a-2b) chia hết d

nên 4b+1 chia hết d mà b chia hết cho d nên 1 chia hết d. Vậy hai số a-b và 2a+2b+1 nguyên tố cùng nhau

Áp dụng bổ đề có đpcm