Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn GTNN của A = \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
Cho x,y>0 thỏa mãn (x+\(\sqrt{1+x^2}\))(y+\(\sqrt{1+y^2}\))=2018. Tìm GTNN của P=x+yGiúp mk với ạ, please
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{1+x^2}=a>0\\y+\sqrt{1+y^2}=b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+x^2=a^2+x^2-2ax\\1+y^2=b^2+y^2-2by\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2-1}{2a}\\y=\dfrac{b^2-1}{2b}\end{matrix}\right.\)
Giả thiết trở thành: \(ab=2018\)
\(P=\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)-\dfrac{a+b}{2ab}\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right).\dfrac{2017}{2018}\ge\sqrt{ab}.\dfrac{2017}{2018}=\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}\)
\(P_{min}=\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{2017}{2\sqrt{2018}}\)
cho x,y>0 thỏa mãn \(2\sqrt{xy}+\sqrt{\dfrac{x}{3}}=1\).Tìm GTNN của P=\(\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{3y}+15xy\)
\(P=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+\left(\dfrac{x}{3y}+3xy+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+12\left(xy+\dfrac{1}{9}\right)-2\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+4\sqrt[4]{\dfrac{3x^2y}{27y}}+12.2\sqrt{\dfrac{xy}{9}}-2\)
\(P\ge4\sqrt{\dfrac{x}{3}}+8\sqrt{xy}=4\left(2\sqrt{xy}+\sqrt{\dfrac{x}{3}}\right)=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)
Cho x>0, y>0 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\). Tìm GTNN của A = \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(BĐT Svacxo)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge8\)(1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\ge4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(x+\sqrt{xy}+y\ge16\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge16\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Muốn cô k cũng dễ lắm. Tuy nhiên cái cô muốn là các em làm được bài trên OLM sẽ nhìn ra được những lỗi sai của mình thì để lần sau trong các cuộc thi HSG hay các bài kiểm tra trên lớp sẽ không bị mắc phải những cái lỗi tương tự.
bài phía dưới: Từ (1) , (2) => \(x+2\sqrt{xy}+y\ge16\) nha
Bỏ qua lỗi này. Cái quan trọng là khi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất em cần phải biết nó đạt tại x =?, y=?.
nếu bỏ qua phần này sẽ bị trừ điểm rất nặng. :)
Cho x>0, y>0 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\). Tìm GTNN của A = \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=12. Tìm GTNN của \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=(x-y)\(\sqrt{xy}\)
tìm GTNN của P =x+y
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=12. Tìm GTNN của
\(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
Ta có: P2 = \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+2\left[\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{xy}}\right]\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+z\ge4x\)
Tương tự cộng lại ta có: \(P^2+\left(x+y+z\right)\ge4\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow P^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge36\Rightarrow P\ge6\)
Dấu"=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=4
1) Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=12. Tìm GTNN của \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=5\). tìm GTNN của A=\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử \(x\ge y\ge z\).Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Leftrightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó:
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Vì \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x\)
\(=3+2\sqrt{3x-x^2}=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}\)
\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)(vì \(\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)theo (*)) nên \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{2}+1\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\)đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị
ngu thế mà tao cũng ko bt
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=5\). Tìm GTNN của \(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\). Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Rightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó: \(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y+z+2\sqrt{yz}}\)
\(\ge\sqrt{x}+\sqrt{5-x+2\sqrt{6-2x}}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}.\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x=3+2\sqrt{3x-x^2}\)
\(=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)(theo (*))
Do đó \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge1+\sqrt{2}\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\), đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị.
•๖ۣۜIηεqυαℓĭтĭεʂ•ッᶦᵈᵒᶫ ngu mak đòi lm solo toán ko :PP