Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dương Nguyễn

Cho x,y>0 thỏa mãn (x+\(\sqrt{1+x^2}\))(y+\(\sqrt{1+y^2}\))=2018. Tìm GTNN của P=x+yGiúp mk với ạ, please

Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 1 2021 lúc 18:14

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{1+x^2}=a>0\\y+\sqrt{1+y^2}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+x^2=a^2+x^2-2ax\\1+y^2=b^2+y^2-2by\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2-1}{2a}\\y=\dfrac{b^2-1}{2b}\end{matrix}\right.\)

Giả thiết trở thành: \(ab=2018\)

\(P=\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)-\dfrac{a+b}{2ab}\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right).\dfrac{2017}{2018}\ge\sqrt{ab}.\dfrac{2017}{2018}=\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}\)

\(P_{min}=\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{2017}{2\sqrt{2018}}\)


Các câu hỏi tương tự
camcon
Xem chi tiết
DTD2006ok
Xem chi tiết
Hiếu Nguyễn
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Dương Thị Thu Ngọc
Xem chi tiết
Thành
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết