Cho 20 điểm phân biệt trong mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại đường tròn chứa đúng 12 điểm đã cho bên trong và có đúng 8 điểm đã cho bên ngoài.
Bài 9. Cho 11 điểm đôi một phân biệt thoả mãn:
i) Không có ba điểm nào thẳng hàng;
ii) Không có bốn điểm nào cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng có thể vẽ được một đường tròn đi qua ba điểm trong các điểm đã cho và chứa đúng 6 điểm bên trong.
trong mặt phẳng cho 2020 điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1cm chứa không ít hơn 1010 điểm trong 2020 điểm đã cho
Cho 2019 điểm trên mặt phẳng. Chứng minh rằng có 1 đường tròn đi qua 1 điểm trong số các điểm trên và chứa 1000 điểm nằm bên trong đường tròn còn lại 1018 điểm nằm ngoài đường tròn
trong mặt phẳng cho 2n+1 điểm phân biệt ko có 3 điểm nảo thẳng hàng. biết rằng bất kỳ 3 điểm trong các điểm đã cho luôn có 2 điểm có khoảng cách <1.CMR tồn tại 1 hình tròn bán kính 1cm chứa n+1 điểm trong 2n+1 điểm đã cho
Gọi \(2n+1\) điểm đó là \(A_1,A_2,...,A_{2n+1}\). Do số điểm là hữu hạn nên tồn tại 1 đoạn thẳng \(A_iA_j\left(i\ne j\right)\) sao cho \(A_iA_j\) lớn nhất trong các \(A_kA_l\left(k\ne l;k,l=\overline{1,2n+1}\right)\).
TH1: Nếu \(A_iA_j\le1\), ta dựng 2 đường tròn \(\left(A_i,1cm\right)\) và \(\left(A_j,1cm\right)\). Dĩ nhiên nếu có bất kì điểm \(A_m\) nào nằm ngoài 2 đường tròn trên thì mâu thuẫn với giả thiết \(A_iA_j\) là đoạn thẳng có độ dài lớn nhất. Do đó, tất cả \(2n+1\) điểm sẽ nằm trong 2 đường tròn. Theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại 1 hình tròn chứa \(n+1\) điểm trong \(2n+1\) điểm đã cho. Đó là hình tròn cần tìm.
TH2: Nếu \(A_iA_j>1\), ta vẫn dựng 2 đường tròn \(\left(A_i,1cm\right)\) và \(\left(A_j,1cm\right)\). Khi đó nếu có bất kì điểm \(A_m\) nào nằm ở ngoài cả 2 hình tròn thì \(A_mA_i\) và \(A_mA_j\) đều lớn hơn 1. Khi đó bộ 3 điểm \(\left(A_i,A_j,A_m\right)\) mâu thuẫn với giả thiết trong 3 điểm bất kì luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Do vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm trong 2 đường tròn kể trên. Lại theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại \(n+1\) điểm thuộc cùng một hình tròn. Đấy chính là hình tròn cần tìm.
Vậy trong mọi trường hợp, ta đều tìm được 1 hình tròn bán kính 1cm chứa \(n+1\) điểm trong số \(2n+1\) điểm đã cho. Ta có đpcm.
Mình giải thích thêm trường hợp 1 nhé. Nếu như có 1 điểm \(A_m\) nằm ngoài 1 trong 2 đường tròn \(\left(A_i,1\right)\) và \(\left(A_j,1\right)\) thì 1 trong 2 đoạn \(A_mA_i\) và \(A_mA_j\) sẽ lớn hơn 1. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là đoạn \(A_mA_i\). Khi đó \(A_mA_i>1\ge A_iA_j\), vô lí vì ta đã giả sử \(A_iA_j\) là đoạn có độ dài lớn nhất.
Cho 2009 điểm phân biệt (trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng hàng). Chứng minh rằng qua 1 điểm bất kì, ta luôn vẽ được một đường tròn chứa 1008 điểm bên trong và 1008 điểm bên ngoài
Cho các phát biểu sau, số phát biểu đúng:
1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt
2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt
3. Nếu 1 đường thẳng có 1 điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó
4. Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
5. Tồn tại 4 điểm cùng thuộc một mặt phẳng
6. Nếu 2 mặt phẳng phân biệt có 1 điểm chung thì chúng sẽ còn 1 điểm chung khác
7. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng có thể không đúng
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Đáp án B
Các phát biểu đúng: 1; 4; 5; 6
2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng
3. Nếu 1 đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó
7. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng
Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằng trong 2010 điểm đã cho, có thể dựng được một đường tròn đi qua ba điểm, chứa 1000 điểm và không chứa 1007 điểm còn lại.
Trong 2010 điểm đã cho, tồn tại 2 điểm A,B sao cho 2008 điểm còn lại nằm cùng phía đối với AB
Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên ta đặt 2008 điểm còn lại lần lượt là
N1,N2,N3....,N2008
sao cho
AN1B>AN2B>AN3B>....>AN2008B
Ta vẽ đường tròn đi qua 3 điểm
A,B,N1001
Khi đó các điểm N1,N2,N3....,N1000 nằm trong đường tròn đã vẽ và 1007 điểm còn lại nằm ngoài đường tròn (đpcm)
ko chắc đâu nhoa
mày vẫn thích đi gây sự nhỉ
Trên mặt phẳng cho 25 điểm. Biết rằng trong ba điểm bất kì trong số đó luôn luôn tồn tại hai điểm cách nhau nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho.
Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n>4, nÎN), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm nằm cùng trên mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này đồng phẳng. Tìm n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 201 mặt phẳng phân biệt
A. 8
B. 12
C. 5
D. 6