Đặt  \(ab=x;\)\(bc=y;\)\(ca=z\)

Khi đó:   \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)

<=>  \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

<=>  \(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)

<=>  \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)

Nếu:  \(x+y+z=0\)thì:  \(ab+bc+ca=0\)

\(A=\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)+\left(\frac{c}{a}+1\right)\)

\(=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{bc}+\frac{c}{a}+1=\frac{ab+ac+bc+b^2}{bc}+\frac{c}{a}+1\)

\(=\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1=\frac{ab+c^2+ac}{ac}=\frac{c^2-bc}{ac}=\frac{c-b}{a}\)

Nếu:  \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)<=>   \(x=y=z\)

<=>  \(ab=bc=ca\)<=>  \(a=b=c\)

\(A=\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)+\left(\frac{c}{a}+1\right)=2.2+2=6\)

p/s: trg hợp 1 mk lm đc đến có z thôi, bn tham khảo

a) B = x² + 4y² - 5x + 10y - 4xy + 17 

= ( x² - 4xy + 4y² ) - ( 5x - 10y ) + 17

= ( x - 2y )² - 5( x - 2y ) + 17

= 5² - 5.5 + 17

= 17

b) C = 2( a³ + b³ ) - 3( a² + b² )

= 2( a + b )( a² - ab + b² ) - 3( a² + b² )

= 2( a² - ab + b² ) - 3a² - 3b² ( gt a + b = 1 )

= 2a² - 2ab + 2b² - 3a² - 3b²

= -a² - 2ab - b²

= -( a² + 2ab + b² )

= -( a + b )²

= -1

c) a + b + c + d = 0

<=> a + b = -( c + d )

<=> ( a + b )³ = -( c + d )³

<=> a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = -( c³ + 3c²d + 3cd² + d³ )

<=> a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = -c³ - 3c²d - 3cd² - d³

<=> a³ + b³ + c³ + d³ = -3c²d - 3cd² - 3a²b - 3ab²

<=> a³ + b³ + c³ + d³ = -3cd( c + d ) - 3ab( a + b )

<=> a³ + b³ + c³ + d³ = 3ab( c + d ) - 3cd( c + d ) < Do ( a + b ) = -( c + d ) >

<=> a³ + b³ + c³ + d³ = 3( ab - cd )( c + d )

<=> a³ + b³ + c³ + d³ - 3( ab - cd )( c + d ) = 0

Cảm ơn bạn TRẦN NHẬT QUỲNH nha'

Từ \(b^2=ac\)\(\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\)(1)

Từ \(c^2=bd\)\(\Rightarrow\frac{c}{b}=\frac{d}{c}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{b}{a}\right)^3=\left(\frac{c}{b}\right)^3=\left(\frac{d}{c}\right)^3=\frac{b^3}{a^3}=\frac{c^3}{b^3}=\frac{d^3}{c^3}=\frac{b^3+c^3+d^3}{a^3+b^3+c^3}\)

mà \(\left(\frac{b}{a}\right)^3=\frac{b}{a}.\frac{b}{a}.\frac{b}{a}=\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{d}{c}=\frac{b.c.d}{a.b.c}=\frac{d}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{b^3+c^3+d^3}{a^3+b^3+c^3}=\frac{d}{a}=\left(\frac{b}{a}\right)^3\left(đpcm\right)\)

Bạn giải thích cho mk là vì sao \(\frac{b}{a}=\frac{b}{a}=\frac{b}{a}=\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{d}{c}\)  với ạ? Mk k hiểu chỗ này

Đây nhé! Ta có: \(\frac{b}{a}=\frac{b}{a}=\frac{b}{a}\)(1) mà mình đã chứng minh được \(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}\)rồi 

Nên mình chỉ cần thay \(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\)và \(\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\)vào (1) là xong.

Bạn có hiểu cái gì ko? Nếu ko thì thông cảm, mình chỉ biết làm thôi chứ giải thích cho ai đó thì mình chịu.

Ta có: a/b=c/d => a/c=b/d=(a-b)/(c-d)

 => (a-b)³/(c-d)³=a³/c³   (1)

Mặt khác:  a/c=b/d =>a³/c³=b³/d³=(a³+b³)/(c³+d³)     (2)

Từ (1) và (2) => đccm

vì -1 hơn 1 hai số cho nên;

a) a/b và c/d ^2 =ab/cd hơn kém nhau 2

b) dựa theo tính chất kết hợp (a+b/c+d ) ^3 = a ^3 ...