Bài này rất dễ (đọc kĩ đề bài )

Kẻ CG//AB(G thuộc QP)

Xét ΔRBP có CG//RP

nên PC/PB=CG/RB=PG/PR

Xét ΔQAR và ΔQCG có

góc QAR=góc QCG

góc AQR=góc CQG

=>ΔQAR đồng đạng với ΔQCG

=>QA/QC=QR/QG=AR/CG

PB*PC*QC/QA=RB/CG*CG/AR=RB/RA

=>PB/PC*QC/QA*RA/RB=1

Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BO, CO kéo dài tại E và F

Theo định lý Thales ta có: \(\frac{BP}{PC}=\frac{AE}{AF},\frac{QC}{QA}=\frac{AF}{BC},\frac{BC}{AE}=\frac{RA}{RB}\)

Nhân 3 đẳng thức vs nhau ta đc: 

\(\frac{BP}{PC}.\frac{QC}{QA}.\frac{RA}{RB}=\frac{AE}{AF}.\frac{AF}{BC}.\frac{BC}{AE}=1\left(DPCM\right)\)

DAY LA HINH 

a) Dễ thấy: ^CMN = 90⁰ - ^ACB/2;  ^AOQ = ^OAB + ^OBA = 90⁰ - ^ACB/2 => ^CMN = ^AOQ

=> Tứ giác AOQM nội tiếp => ^AQO = ^AMO = 90⁰ (1)

Tương tự ta có: Tứ giác BOPN nội tiếp => ^BPO = ^BNO = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^AQO = ^BPO hay ^AQB = ^BPA => Tứ giác ABPQ nội tiếp (đpcm).

b) Xét \(\Delta\)AQB vuông tại Q: E là trung điểm cạnh AB => ^EQB = ^EBQ = ^ABC/2 = ^QBC 

=> QE // BC (2 góc so le trong bằng nhau). Mà EF là đường trung bình tam giác ABC nên EF // AB

Do đó 3 điểm E,Q,F thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit) (đpcm).

c) Sửa điểm E thành điểm R cho đỡ trùng.

+) C/m : ^BAC = 90⁰ => AR = AC ?

Chứng minh tương tự câu b ta có: PE //AC, gọi G là hình chiếu của O trên cạnh AB

Do ^BAC = 90⁰ => AB vuông góc AC. Từ đó: AC // OG // PE. Áp dụng hệ quả ĐL Thales thì có:

\(\frac{r}{AD}=\frac{OG}{AD}=\frac{EG}{EA}=\frac{PO}{PA}=\frac{ON}{AR}=\frac{r}{AR}\)=> AD=AR (đpcm).

+) C/m : AR = AD => ^BAC = 90⁰ ?

Lại theo hệ quả ĐL Thales, ta có các tỉ số: \(\frac{OG}{AD}=\frac{r}{AR}=\frac{ON}{AR}=\frac{PO}{PA}=\frac{EO}{ED}\)

=> OG // AC (ĐL Thales đảo). Mà OG vuông góc AB => AB vuông  góc AC hay ^BAC = 90⁰ (đpcm).

d) Hệ thức cần chứng minh \(\Leftrightarrow r\left(AB+BC+CA\right)=OC\left(MN+2PQ\right)\)

\(\Leftrightarrow S_{ABC}=S_{CMON}+2S_{CPOQ}\Leftrightarrow2S_{AOB}=2S_{CPOQ}\Leftrightarrow S_{AOB}=S_{CPOQ}\) 

\(\Leftrightarrow OG.AB=OC.PQ\Leftrightarrow\frac{PQ}{AB}=\frac{OG}{OC}\Leftrightarrow\frac{OQ}{OA}=\frac{OM}{OC}\)(Do tứ giác ABPQ nội tiếp)

\(\Leftrightarrow\Delta AOQ~\Delta COM\left(g.g\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{AQO}=\widehat{CMO}\left(=90^0\right)\\\widehat{OAQ}=\widehat{OCM}\left(=\widehat{OMQ}\right)\end{cases}}\)(Điều này hiển nhiên đúng)

Vậy hệ thức cần chứng minh là đúng => ĐPCM.

định lý Ceva

Qua A kẻ đường thẳng d // BC, \(d\cap CP=\left\{O\right\}\), \(d\cap BI=\left\{E\right\}\)

\(\Delta\)OAP và \(\Delta\)PBC có OA//BC nên \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{OA}{BC}\)

\(\Delta\)AEN và \(\Delta\)BNC có AE//BC nên \(\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{AE}{BC}\)

suy ra \(\dfrac{PA}{PB}+\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{OA}{BC}+\dfrac{AE}{BC}=\dfrac{OE}{BC}\)(1)

\(\Delta\)AIE và \(\Delta\)BIC có AE//BC nên \(\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IE}{BC}\)

\(\Delta\)OIE và \(\Delta\)BIC có OE//BC nên \(\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{OE}{BC}\)

suy ra \(\dfrac{IA}{AM}=\dfrac{OE}{BC}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)\(\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{PA}{PB}+\dfrac{NA}{NC}\) (dpcm)

Vừa nghĩ ra cách giải