Khó nhỉ

khó thì mình mới nhờ các bạn chứ

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0(*)\).

Từ $(*)$ ta thấy: \(c=\frac{-ab}{a+b}< 0\) do $a,b>0$

\(c+a=\frac{-ac}{b}>0\) do $c< 0; a,b>0$

\(c+b=\frac{-bc}{a}>0\) do $c< 0; a,b>0$

Do đó:

\((*)\Leftrightarrow c^2+ab+bc+ac=c^2\)

\(\Leftrightarrow (c+a)(c+b)=c^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(c+a)(c+b)}=|c|=-c\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{(c+a)(c+b)}+2c=0\)

\(\Leftrightarrow (c+a)+(c+b)+2\sqrt{(c+a)(c+b)}=a+b\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{c+a}+\sqrt{c+b})^2=a+b\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{c+a}+\sqrt{c+b}=\sqrt{a+b}\) (đpcm)

Bài 1:

Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)

Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Áp dụng BĐT cô si ta có:

\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)

Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)

Cộng lại ta được:

\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

Sau đó bình phương hai vế rồi

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng

Vậy...

Bài 2:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)

Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau: 

\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)

\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)

Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)

Từ đó ta có:

\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)

Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có 

\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c 

c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D

- Ôi má ơi, má patient dử dậy :)

Ta có \(a>0,b>0,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0,a+c\ge0,b+c\ge0\)

Do đó \(\frac{1}{c}=-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)< 0\Rightarrow c< 0\)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow bc+ac+ab=0\)

\(\Rightarrow c^2=c^2+bc+ac+ab\)

\(\Rightarrow c^2=c\left(c+b\right)+a\left(c+b\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow-c=\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\Rightarrow2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+2c=0\)

\(\Rightarrow a+b=a+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+b+c\)

\(\Rightarrow a+b=\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)(đpcm)

Hoặc cách 2 bạn có thể đi ngược lại giả thuyết.Chúc bạn học tốt.

Trả lời hộ mình đi

Mk muốn làm giúp bạn lắm chứ nhưng mà khổ lỗi mk mới học lớp 6 . Xin lỗi bn

bài 2 gợi ý từ hdt (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x) 

VT (ở đề bài) = a+b+c 

<=>....<=>3[căn bậc 3(a)+căn bậc 3(b)].[căn bậc 3(b)+căn bậc 3(c)].[căn bậc 3(c)+căn bậc 3 (a)]=0

từ đây rút a=-b,b=-c,c=-a đến đây tự giải quyết đc r