dk \(x+9\ge0;x\ge0;x+1>0< =>x\ge0;\)

\(\sqrt{x+9}-\sqrt{x}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}< =>\frac{9}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}\)<=> \(9\sqrt{x+1}=2\sqrt{2}\left(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}\right)< =>\)\(81\left(x+1\right)=16x+72+16\sqrt{x\left(x+9\right)}\)

<=> \(65x+9=16\sqrt{x\left(x+9\right)}\)<=> 4225x²+1170x+81= 256x²+144x <=> 3969x²+1026x+81=0 (vô nghiệm)

ĐKXĐ: \(x>0\)

Ta có:

\(-\sqrt{x}-2\left(x-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2x^3}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{x}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}=\frac{1}{2x^3}+2x-\frac{2}{x}\)

\(\frac{\Leftrightarrow1}{2x\sqrt{x}}-\sqrt{x}=2\left(x-\frac{1}{x}+\frac{1}{4x^3}\right)\)

Đặt : \(\frac{1}{2x\sqrt{x}}-\sqrt{x}=a\Rightarrow a^2=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{4x^3}\)

Khi đó pt đã cho trở thành:

\(a=2a^2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\a=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

+) a = 0\(\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Tương tự

ĐK: x \(\ne\) 0, \(\sqrt{2}\) < x < \(\sqrt{2}\)

Đặt y = \(\sqrt{2-x^2}\)

=> y² = 2 - x²

Ta có hệ PT

\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)= 2

x² + y² = 2

<=>

\(\frac{x+y}{xy}\)= 2

(x + y)² - 2xy = 2

Đặt S = x + y, P = xy

<=>

\(\frac{S}{P}\)= 2

S² - 2P = 2

<=>

S = 2P

S² - 2P = 2

=>

4P² - 2P = 2

<=>

P = 1 và S = 2

Hoặc P = -1/2 và S = -1

TH1: P = 1 và S = 2

x và y là 2 nghiệm của PT: X² - SX + P = 0

<=> X² - 2X + 1 = 0

=> X = 1

=> Nghiệm x = 1

TH2: P = -1/2 và S = -1

x và y là 2 nghiệm của PT: X² - SX + P = 0

<=> X² + X -\(\frac{1}{2}\)= 0

<=>

X = \(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\)(Nhận) 

Hoặc X = \(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\)(Loại)

Vậy, Nghiệm của phương trình là:

x = 1

Hoặc x = \(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\)

Cái điều kiện là x \(\ne\)0, \(-\sqrt{2}\) < x < \(\sqrt{2}\)nhé.

Nghiệm x = \(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\) bị loại vì lúc này y = \(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\)

x > 0, y < 0 nên phép suy ra lúc ta đặt y = \(\sqrt{2-x^2}\)=> y² = 2 - x² không tương đương.

Đặt \(\sqrt{x}=t\left(t>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+t^2}+\frac{2}{1+t}=\frac{2+t}{2t^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1+t+2t+2t^2}{\left(1+t\right)\left(1+t^2\right)}=\frac{2+t}{2t^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2t^2+3t+1}{\left(1+t\right)\left(1+t^2\right)}=\frac{2+t}{2t^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(t+1\right)\left(2t+1\right)}{\left(1+t\right)\left(1+t^2\right)}=\frac{2+t}{2t^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2t+1}{1+t^2}=\frac{2+t}{2t^2}\)

\(\Leftrightarrow2t^2\left(2t+1\right)=\left(2-t\right)\left(1+t^2\right)\)

\(\Leftrightarrow4t^3+2t^2=2+2t^2+1+t^3\)

\(\Leftrightarrow t=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

ĐKXĐ x>0

Chia cả 2 vế của pt cho \(\sqrt{x}\ne0\),ta được

\(12+\sqrt{\frac{x-1}{x}}=\frac{2}{x}+\sqrt{\frac{169x-65}{x}}\)

\(\Rightarrow12-\frac{2}{x}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{65\left(1-\frac{1}{x}\right)+104}\)(2)

Đặt \(\sqrt{1-\frac{1}{x}}=a\)(\(a\ge0\)),khi đó pt (1) trở thành

\(2a^2+10+a=\sqrt{65a^2+104}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a^2+a+10\right)^2=65a^2+104\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a^2+3a-1\right)=0\)

Đến đây bn tự giải tiếp nhé

j vậy bn ?