`#3107.101107`

`a,`

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ACH$:

`AB = AC` $(\triangle ABC$cân tại A`)`

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) $(\triangle ABC$cân tại A`)`

`HB = HC ( H` là trung điểm của BC`)`

$=> \triangle ABH = \triangle ACH (c - g - c)$

Vì $\triangle ABH = \triangle ACH$

`=>`\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí kề bù

`=>` \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)

`=>` \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\) `=> AH \bot BC`

`b,`

Vì $\triangle ABH = \triangle ACH (a)$

`=>`\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\)

Xét $\triangle AHM$ và $\triangle AHN$:

AH chung

\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\left(CMT\right)\)

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\left(=90^0\right)\)

$=> \triangle AHM = \triangle AHN (ch - gn)$

`c,`

Xét $\triangle HMB$ và $\triangle HNC$:

\(\widehat{HMB}=\widehat{HNC}\left(=90^0\right)\)

`HB = HC` `(`gt`)`

\(\widehat{HBM}=\widehat{HCN}\) $(\triangle ABC$ cân tại A`)`

$=> \triangle HMB = \triangle HNC (ch - gn)$

`=>`\(\widehat{BHM}=\widehat{CHN}\left(2\text{ góc tương ứng}\right)\) `(1)`

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MHB}+\widehat{KHB}=\widehat{MHK}\\\widehat{NHC}+\widehat{IHC}=\widehat{NHI}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{MHK}=\widehat{NHI}\left(\text{đối đỉnh}\right)\) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>` \(\widehat{KHB}=\widehat{IHC}\)

Xét $\triangle KHB$ và $\triangle IHC$:

\(\widehat{KBH}=\widehat{ICH}\left(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\right)\)

`HB = HC`

\(\widehat{KHB}=\widehat{IHC}\)

$=> \triangle KHB = \triangle IHC (g - c - g)$

`=> BK = CI` `(2` cạnh tương ứng`)`

Ta có:

`AK = AB + BK`

`AI = AC + CI`

Mà `AB = AC; BK = CI`

$=> AK = AI => \triangle AIK$ cân tại A.

a) Xét △AHB và △AHC có:

AB = AC (gt)

BH = HC (gt)

AH Chung

=>△AHB = △AHC (c.c.c)

Do đó góc A1 = góc A2 (2 góc tương ứng)

Mà H là trung điểm của BC => AH vuông góc với BC

b) Xét △AHM và △AHN có:

Góc A1 = Góc A2 (cmt)

Góc M = Góc N (gt)

AH Chung

=> △AHM = △AHN (Cạnh huyền - Góc nhọn)

c) Vì △AHM = △AHN (cmt)

=> AM = AN (2 cạnh tương ứng)

Vì I là giao điểm của MH và AC, K là giao điểm của NH và AB.

=>AK = AI

Do đó: △AIK là tam giác cân (Do có 2 cạnh bằng nhau)

a, Xét tam giác ABC cân taị A, có H là trung điểm cạnh BC 

=> AH là trung tuyến đồng thời AH là đường cao tam giác ABC 

=> AH vuông BC tại H

b, chứng minh gì bạn ? 

c, Ta có : KN vuông AI; IM vuông AB mà KN giao IM = H 

=> AH là đường cao thứ 3 tam giác AIK => AH vuông KI 

Xét tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao đồng thời là đường phân giác 

Xét tam giác AIK có AH là đường cao, đồng thời là đường phân giác 

=> tam giác AIK là tam giác cân tại A

c, 

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có 

AB = AC (gt)

AM là cạnh chung

BM = MC ( gt )

\(\Rightarrow\) Tam giác ABM bằng tam giác ACM ( c.c.c)