Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d ⊥ OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM, OA lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh rằng △ 𝑂𝐻𝐾 ∽△OAM, từ đó suy ra OH. OK = R2 (không đổi).

b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định khi M di động trên d.

c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định tỉ số diện tích hình tròn tâm (O) và diện tích hình tròn cố định mà H đi qua. 

(Vĩnh Phúc - 2020)

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻhai tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Đường thẳng đi qua (O) vuông góc với đường thẳng AD và cắt AD, BC lần lượt tại K, E. Gọi I à giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh rằng các tứ giác ABOC, AIKE nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng OI.OA = OK.OE.

c) Biết OA = 5cm, đường tròn (O) có bán kính R = 3cm. Tính độ dài đoạn thẳng BE.

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn sao cho OA=2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). H là giao điểm OA vad BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC

b) Tính AB, OH và số đo góc \(\widehat{OAB}\)

c) M là điểm thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O) , tiếp tuyến của đường tròn (O) kẻ từ M cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Tính AE+EF+FA

d) Hai đoạn thẳng OE, OF lần lượt cắt đường tròn (O) tại I và J. Tính độ dài IJ theo R

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) với B, C là các tiếp điểm. Gọi giao điểm của BC và OA là I. Kẻ đường kính BD. Đường thẳng vuông góc với BD tại O cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh

a. Bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b. DC//OA.

c. Giả sử AB = 20cm. BC = 12cm. Tính bán kính R của đường tròn.

d. IK.IC + OI.IA = R2.

Chờ (O;R) và 1 điểm A ở ngoài đường tròn từ 1 điểm M di độn trên đường thẳng D vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB và MC với đường tròn. B;C là các tiếp điểm. Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K

a, CMR: OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua 1 điểm cố định

b, CMR: H di động trên 1 đường tròn cố định

c, Cho biết OA=2R, hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tính GTNN đó