tách thành HĐT

\(P\left(x\right)=x^2+x-2017=x^2+x+1-2018\)

\(P\left(x\right)=x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-2018\)

\(P\left(x\right)=x\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}-2018\)

\(P\left(x\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}-2018=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{8069}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{8069}{4}\ge\frac{-8069}{4}\)

=>P(x) vô nghiệm

Ta có: g(x) = x²-x-x+3 = x²-x-x+1+2 = x(x-1)-(x-1)+2 = (x-1)²+2

Do (x-1)² lớn hơn hoặc bằng 0 => g(x) lớn hơn hoặc bằng 2

Vậy g(x) vô nghiệm

Ta có : g(x) = x² - x - x + 3 = x² - 2x + 3 = x² - 2x + 1 + 2 = (x - 1)² + 2 

Vì : (x - 1)^{2 \(\ge0\forall x\)}

Nên : (x - 1)² + 2 \(\ge2>0\forall x\in R\)

Ta có : 
\(g\left(x\right)=x^2-x-x+3\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)=x.\left(x-1\right)-x+3\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)=x.\left(x-1\right)-x+1+2\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)=x.\left(x-1\right)-\left(x-1\right)+2\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-1\right)+2\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)=\left(x-1\right)^2+2\)

Do  \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x-1\right)^2+2\ne0\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)\)vô nghiệm 

Chúc bạn học tốt !!! 

thôi ko cân nữa,  ghi sai đề

Thấy Q(2) = 14

=> a_m.x^m+a_m-1.x^m-1.......a₁x.a₀= 14( a_m,a_m-1,...,a₁,a₀ thuộc N, a₀ khác 0)

=> a_m.2^m+a_m-1.2^m-1.......a₁2.a₀= 14

Thấy : 2^m,2^m-1,...,2 là số chẵn 

=> a_m,2_m,...,a₁2 là số chẵn

=> a₀ là số chẵn

* Nếu a lẻ

=> a + 83 chẵn

cmtt, có P(a + 83 là số chẵn )

* Nếu a chẵn

=> ....(cmtt)

=> P(a) chẵn

=> P(x) chẵn với mọi X thuộc N

=> Q(p(x)) chẵn và = 2014

:PPPPPPPPPPP

Ta đi phản chứng, giả sử P(x) có thể phân tích được thành tích hai đa thức hệ số nguyên bậc lớn hơn 1.

đặt \(P\left(x\right)=Q\left(x\right).H\left(x\right)\)với bậc của Q(x) và H(x) lớn hơn 1

Ta Thấy \(Q\left(i\right).H\left(i\right)=P\left(i\right)=-1\)với i=1,2,...2020.

suy ra \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=1\\H\left(i\right)=-1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=-1\\H\left(i\right)=1\end{cases}}\) suy ra \(Q\left(i\right)+H\left(i\right)=0\)với i=1,2,...,2020

mà bậc của Q(x) và H(x) không vượt quá 2019 suy ra \(Q\left(x\right)+H\left(x\right)=0\Rightarrow Q\left(x\right)=-H\left(x\right)\Rightarrow P\left(x\right)=-\left(Q\left(x\right)\right)^2\)

xét hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(P\left(x\right)\) bằng 1 

hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(-\left(Q\left(x\right)\right)^2\) bằng -1.  Suy ra vô lý. 

Vậy P(x)  không thể phân tích thành hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1.

\(\left(x^2-25\right)f\left(x+1\right)=\left(x-2\right).f\left(x-1\right)\) (1)

Thay \(x=2\) vào (1) ta được:

\(-21.f\left(3\right)=0.f\left(1\right)=0\Rightarrow f\left(3\right)=0\)

\(\Rightarrow x=3\) là 1 nghiệm của \(f\left(x\right)\)

Thay \(x=5\) vào (1):

\(0.f\left(6\right)=3.f\left(4\right)\Rightarrow f\left(4\right)=0\)

\(\Rightarrow x=4\) là 1 nghiệm

Thay \(x=-5\) vào (1):

\(0.f\left(-4\right)=-7.f\left(-6\right)\Rightarrow f\left(-6\right)=0\)

\(\Rightarrow x=-6\) là 1 nghiệm

Vậy \(f\left(x\right)\) có ít nhất 3 nghiệm là \(x=\left\{3;4;-6\right\}\)