M=a/a+b+b/b+c+c/c+a vs a,b,c lớn hơn 0

M=1+b+1+c+1+a=3+a,b,c

M là số nguyên

Ta có a/b+c+b/a+c+c/a+b > a/a+b+c+b/b+c+a+c/b+c+a=a+b+c/a+b+c=1

=>M>1

Lại có M=(1-b/a+b)+(1- c/b+c)+(1-c/a+c)<3-(b/a+b+c+c/b+c+a+a/c+a+b)=3-1=2

=>M < 2

 do đo 1<M<2=>đpcm

Bn vào đây:http://olm.vn/hoi-dap/question/431454.html

ta cần chứng minh nó lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2

Do a;b;c và d là các số nguyên dương => 
a + b + c < a + b + c + d 
a + b + d < a + b + c + d 
a + c + d < a + b + c + d 
b + c + d < a + b + c + d 
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1) 
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2) 
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3) 
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4) 
Từ (1);(2);(3) và (4) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1 
=> B > 1 (*) 

Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad 
= bd + cd 
Do a;b;c và d là số nguyên dương 
=> bd + cd > 0 
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0 
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d) 
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5) 
Chứng minh tương tự ta được: 
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6) 
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7) 
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8) 
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được: 
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) 
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2 > B (*)(*) 
Từ (*) và (*)(*) 
=> 1 < B < 2 
=> B không phải là số nguyên

Ta có: a/a+b <a/a+b+c    (1)

           b/b+c <b/a+b+c     (2) 

           c/c+a <c/a+b+c      (3)

Từ (1),(2),(3)  =>    a/a+b    +   b/b+c   +    c/c+a    >     a/a+b+c  +   b/a+b+c   +    c/a+b+c

                                                                                       = a+b+c/a+b+c

                                                                                       =1

VẬY : M>1

Ta có :

              a/a+b    <   a+c/a+b+c     (1)

              b/b+c    <   b+a/a+b+c     (2)

              c/c+a     <   c+b/a+b+c     (3)

Từ (1),(2),(3) =>  a/a+b    +   b/b+c   +    c/c+a    <     a+c/a+b+c    +      b+a/a+b+c      +    c+a/a+b+c 

                                                                                   =     2.(a+b+c)/a+b+c

                                                                                   =     2

=>          1<M<2          

=>          M không phải là số nguyên

M=a/a+b+b/b+c+c/c+a vs a,b,c lớn hơn 0

M=1+b+1+c+1+a=3+a,b,c

M là số nguyên

M là số nguyên

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\)=> \(M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

=> M > 1 (1)

Lại có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}< \frac{b+c}{a+b+c}\end{cases}\Rightarrow M< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2}\)

=> M < 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < M < 2 => M không phải là số chính phương

Xin lỗi bạn Lê Thê Hiếu nha 

Kết luật phải là M không phải là số nguyên 

+)Ta có:M=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

+)Ta thấy:\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

                 \(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

                  \(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow M>1\left(1\right)\)

+)Ta lại có:M=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

+)Ta thấy :\(\frac{a}{a+b}< 1;\frac{b}{b+c}< 1;\frac{c}{c+a}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow M< 2\left(2\right)\)

+)Từ (1)và (2)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

=>M không là số nguyên (ĐPCM)

Chúc bn học tốt

Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a²b+ab²+b²c+bc²⁺a²c+ac²+abc+abc)-abc

                                          =(a²b+ab²+abc)+(a²c+ac²+abc)+(b²c+bc²+abc)-2abc

                                          =ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc

                                          =(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc

 thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4   (1)

Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4   (2)

Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4

Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a²b+ab²+b²c+bc²⁺a²c+ac²+abc+abc)-abc

                                          =(a²b+ab²+abc)+(a²c+ac²+abc)+(b²c+bc²+abc)-2abc

                                          =ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc

                                          =(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc

 thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4   (1)

Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4   (2)

Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4

Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a²b+ab²+b²c+bc²⁺a²c+ac²+abc+abc)-abc

                                          =(a²b+ab²+abc)+(a²c+ac²+abc)+(b²c+bc²+abc)-2abc

                                          =ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc

                                          =(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc

 thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4   (1)

Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4   (2)

Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4

\(M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

+)Ta thấy:\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)

                  \(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

                   \(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Vậy M>1 (1)                 (Đề sai )

b)\(M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

+)Ta thấy:\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\) 

                  \(\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{a+b+c}=\frac{2b}{a+b+c}\)

                 \(\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

=>M<2 (2)

+)Từ (1) và (2)

=>M không phải là ssoos nguyên

Chúc bạn học tốt

Đặt \(a^3+b=c^3+d=m^3+n=k\)

\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^3+b\equiv a+b\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow a+b\equiv k\left(mod3\right)\)

Tương tự: \(c+d\equiv k\left(mod3\right)\) ; \(m+n\equiv k\left(mod3\right)\)

Lại có:

\(b^3\equiv b\left(mod3\right)\Rightarrow b^3+a\equiv a+b\left(mod3\right)\)

Tương tự ...

\(\Rightarrow Q\equiv a+b+c+d+m+n\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow Q\equiv k+k+k\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow Q\equiv3k\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow Q⋮3\)

Mà hiển nhiên Q>3 nên Q là hợp số