a) góc MAN nội tiếp chắn nửa (O) => góc MAN = 90⁰ hay góc CAD = 90⁰

tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB² = 4R² không đổi

b) Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA

mà góc BAD = góc ACD (cùng phụ góc BAC) => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp

c) tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA

mà góc IDA = góc AMN( tứ giác CMND nội tiếp) => góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA 

=> góc AHN = 90⁰ hay góc AHO = 90⁰ , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO

a﴿ góc MAN nội tiếp chắn nửa ﴾O﴿ => góc MAN = 90o hay góc CAD = 90o

tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB 2 = 4R 2 không đổi

b﴿ Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA

mà góc BAD = góc ACD ﴾cùng phụ góc BAC﴿ => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp

c﴿ tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA

mà góc IDA = góc AMN﴾ tứ giác CMND nội tiếp﴿

=> góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA

=> góc AHN = 90 0 hay góc AHO = 90 0 , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO 

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đo: ΔACB vuông tại C

Xét (O) co

ΔADB nội tiếp

ABlà đườg kính

Do đó:ΔADB vuông tại D

AC*AM=AB^2

AD*AN=AB^2

=>AC*AM=AD*AN

b: Xét ΔOBI và ΔOCI có

OB=OC

IB=IC

OI chung

Do đó:ΔOBI=ΔOCI

=>góc OCI=90 độ

=>IC là tiếp tuyến của (O)

Ta có điểm C nằm trên đường tròn (AB) nên ^ACB = 90⁰ => BC vuông góc AE

Xét \(\Delta\)BAE: ^ABE = 90⁰, BC vuông góc AE (cmt) => AB² = AC.AE (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự AB² = AD.AF. Do đó AC.AE = AD.AF. Từ đây, tứ giác ECDF nội tiếp.

Xét \(\Delta\)ABF: O là trung điểm AB; H là trung điểm BF => OH là đường trung bình trong \(\Delta\)ABF => OH // AF

Lại có CD là đường kính của (O), A thuộc (O) nên ^CAD = 90⁰ => AE vuông góc AF

Do vậy OH vuông góc AE. Kết hợp với AO vuông góc HE (tại B) suy ra O là trực tâm \(\Delta\)AEH

=> EO vuông góc AH => ^AKE = ^ABE = 90⁰ => A,K,B,E cùng thuộc đường tròn (AE)

Ta thấy AB,CD,KE tại O. Khi đó, áp dụng hệ thức lượng đường tròn: OE.OK = OA.OB = OC.OD

=> C,K,D,E cùng thuộc 1 đường tròn hay K thuộc đường tròn (DCE)

Mà tứ giác ECDF nội tiếp (cmt) nên K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF (đpcm).

Bài Toán trên có các câu hỏi a, b, c  thứ tự  để hướng dẫn làm bài

I)Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp

+) ACBD là hình chữ nhật  ( tự chứng minh)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEB}\)( cùng phụ góc CBE)

=> \(\widehat{ADC}=\widehat{AEB}=\widehat{CEF}\)

=> Tứ giác ECDF nội tiếp

II) Chứng minh Tứ giác KDBO  nội tiếp

Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta FBA\)

Hai tam giác trên đồng dạng ( tự chứng minh)

=> \(\frac{AB}{FB}=\frac{BE}{BA}\Leftrightarrow\frac{2.OB}{2.BH}=\frac{BE}{BA}\Leftrightarrow\frac{OB}{BH}=\frac{BE}{BA}\)(1)

Mặt khác \(\widehat{OBE}=\widehat{HBA}=90^o\)(2)

(1), (2) => \(\Delta OBE~\Delta HBA\)

=> \(\widehat{BEO}=\widehat{BAH}=\widehat{OAK}\)

=> Tứ giác BEAK nội tiếp 

=> \(\widehat{AKO}=\widehat{OBE}=90^o\)

=> \(\widehat{OKH}=90^o\)(1)

Xét tam giác BDF vuông tại D , DH là đường trung tuyến

=> DH=HB

=> \(\widehat{HDB}=\widehat{HBD}=\widehat{BCD}=\widehat{ADC}\)

=> \(\widehat{ODH}=\widehat{ODB}+\widehat{HDB}=\widehat{ODB}+\widehat{ADO}=\widehat{ADB}=90^o\)(2)

Ta lại có: \(\widehat{OBH}=90^o\)(3)

Từ (1), (2), (3) 

=> DKOBH cùng thuộc đường tròn đường kính OH

=> DKOB nội tiếp (4)

III) Chứng minh tứ giác DKCE nội tiếp 

Từ (4)  => \(\widehat{DKO}+\widehat{DBO}=180^o\)

Mặt khác : \(\widehat{DBO}=\widehat{DCA}\)và \(\widehat{DCA}+\widehat{DCE}=180^o\)

Từ 3 điều trên => \(\widehat{DKO}=\widehat{DCE}=\widehat{OCE}\)

=> Tứ giác DKCE nội tiếp 

Từ (I) và (III)

=> D, K, C, E , F cùng thuộc một đường tròn

=> K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF

a) Ta có: Đường tròn (O;R) có đường kính CD và điểm A nằm trên cung CD => ^CAD=90⁰

=> ^PAQ=90⁰ => \(\Delta\)APQ vuông tại A

Do PQ là tiếp tuyến của (O) tại B => AB là đường cao của \(\Delta\)APQ

=> ^PAB=^AQP (Cùng phụ ^APQ) hay ^CAO=^DQP

Mà \(\Delta\)AOC cân tại O => ^CAO=^ACO => ^DQP=^ACO

Lại có: ^ACO+^PCD=180⁰ => ^DQP+^PCD=180⁰

=> Tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Xét \(\Delta\)APQ vuông tại A: Có đường trung tuyến AI => \(\Delta\)AIQ cân tại I

=>  ^IAQ=^IQA hay ^IAQ=^DQP => ^IAQ=^ACO (Do ^DQP=^ACO)

Hay ^IAQ=^ACD. Mà ^IAQ+^CAI=90⁰ => ^ACD+^CAI=90⁰ 

=> AI vuông góc với CD (đpcm).

c) Ta thấy tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn

=> 4 đường trung trực của CP;CD;DQ;PQ cắt nhau tại 1 điểm (1)

E là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)CPQ => Trung trực của CP và CD cắt nhau tại E (2)

Từ (1) và (2) => Điểm E nằm trên trung trực của PQ.

Lại có: I là trung điểm PQ => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn EI (*)

AB vuông góc PQ; EI cũng vuông góc PQ => AB//EI hay AO//EI (3)

E thuộc trung trực CD; O là trung điểm CD => OE vuông góc CD.

Mà AI vuông góc CD => OE//AI (4)ư

Từ (3) và (4) => Tứ giác AOEI là hình bình hành => AO=EI (**)

Từ (*) và (**) => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn AO

Mà AO là bk của (O); PQ là tiếp tuyến của (O) tại B

Nên ta có thể nói: Điểm E là điểm cách tiếp tuyến của (O) tại B một khoảng bằng độ dài bán kính của (O)

Vậy khi đường kính CD thay đổi thì điểm E di động trên đường thẳng song song với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) và cách (O) 1 khoảng bằng độ dài bk của (O).