Cho đa thức \(P\left(x\right)=x^2+3x+4\). Chứng tỏ với mọi x nguyên thì đa thức có giá trị là số nguyên chẵn
Cho đa thức \(f\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-4\). Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị đa thức f(x) chia hết cho giá trị của đa thức \(x^2+2\)
Cho đa thức: \(f\left(x\right)=x^3-3x^2+2\). Với giá trị nguyên nào của a và b thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức: \(x^2+ax+b\)
Lời giải:
\(x^3-3x^2+2=x(x^2+ax+b)-(a+3)(x^2+ax+b)+(a^2+3a-b)x+b(a+3)+2\)
Để $f(x)$ chia hết cho $x^2+ax+b$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} a^2+3a-b=0\\ b(a+3)+2=0\end{matrix}\right.\)
Với $a,b$ nguyên ta dễ dàng tìm được $a=b=-2$
Cho đa thức : \(Q\left(x\right)=x\left(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x\right)-\left(-\frac{1}{2}x^4+x^2\right)\)
a/ Tìm bậc của đa thức Q(x)
b/Tính Q(1/2)
c/Chứng minh rằng Q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x
Ta có : H(x)+Q(x)=P(x)H(x)+Q(x)=P(x)
<=>H(x)=P(x)−Q(x)<=>H(x)=P(x)−Q(x)
<=>H(x)=(4x3−32x2−x+10)−(10−12x−2x2+4x3)<=>H(x)=(4x3−32x2−x+10)−(10−12x−2x2+4x3)
<=>H(x)=(4x3−4x3)+(−32x2+2x2)+(−x+12x)+(10−10)<=>H(x)=(4x3−4x3)+(−32x2+2x2)+(−x+12x)+(10−10)
<=>H(x)=12x2−12x=(12x)(x−1)
HT
1.a,Q=x+32x+1−x−72x+1=x+32x+1+7−x2x+11.a,Q=x+32x+1−x−72x+1=x+32x+1+7−x2x+1
=x+3+7−x2x+1=102x+1=x+3+7−x2x+1=102x+1
b,b, Vì x∈Z⇒(2x+1)∈Zx∈ℤ⇒(2x+1)∈ℤ
Q nhận giá trị nguyên ⇔102x+1⇔102x+1 nhận giá trị nguyên
⇔10⋮2x+1⇔10⋮2x+1
⇔2x+1∈Ư(10)={±1;±2;±5;±10}⇔2x+1∈Ư(10)={±1;±2;±5;±10}
Mà (2x+1):2(2x+1):2 dư 1 nên 2x+1=±1;±52x+1=±1;±5
⇒x=−1;0;−3;2⇒x=−1;0;−3;2
Vậy.......................
HT
Chứng tỏ rằng nếu đa thức \(M\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)có giá trị nguyên với mòi x nguyên thì \(6a,2b,a+b+c,d\)
là các số nguyên
\(M_{\left(x\right)}=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\\ M_{\left(0\right)}=d\)
Mà M(x) nguyên nên d nguyên
\(M_{\left(1\right)}=a+b+c+d\) mà d nguyên nên a+b+c nguyên
\(M_{\left(2\right)}=8a+4b+2c+d\)mà d nguyên, a+b+c nguyên nên 6a+2b nguyên
\(M_{\left(-1\right)}=-a+b-c+d\)mà d nguyên, a+b+c nguyên nên b nguyên
Vì b nguyên mà 6a+2b nguyên nên 6a nguyên, 2b nguyên
\(P\left(0\right)=d\inℤ\left(1\right)\)
\(P\left(1\right)=a+b+c+d\inℤ\left(2\right)\)
\(P\left(-1\right)=-a+b-c+d\inℤ\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow2b\inℤ,2a+2c\inℤ\)
\(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d=6a+4b+2a+2c+d\inℤ\)
\(\Rightarrow6a\inℤ\)
Vậy \(6a,2b,a+b+c\) và \(d\)là số nguyên
Cho biểu thức \(C=\frac{2\left(x-1\right)^2+1}{\left(x-1\right)^2+2}\)
a, Chứng tỏ rằng với mọi x, biểu thức C luôn có giá trị là 1 số dương.
v, Tìm tất cả các số nguyên x để C có giá trị là 1 số nguyên
c, Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ đó
\(C=\frac{2\left(x-1\right)^2+1}{\left(x-1\right)^2+2}\)
a, Ta thấy \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(x-1\right)^2+1\ge1>0\\\left(x-1\right)^2+2\ge2>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow C>0\forall x\)(đpcm)
b, \(C=\frac{2\left(x-1\right)^2+1}{\left(x-1\right)^2+2}=\frac{2\left(x-1\right)^2+4-3}{\left(x-1\right)^2+2}=2-\frac{3}{\left(x-1\right)^2+2}\)
\(C\in Z\Leftrightarrow2-\frac{3}{\left(x-1\right)^2+2}\in Z\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x-1\right)^2+2}\in Z\)Lại do \(\left(x-1\right)^2+2\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+2\inƯ\left(3\right)=\left\{3\right\}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\in\left\{1\right\}\)
\(\Leftrightarrow x\in\left\{0\right\}\)
....
c, \(C=2-\frac{3}{\left(x-1\right)^2+2}\)
Ta có : \(\left(x-1\right)^2+2\ge2\Rightarrow\frac{3}{\left(x-1\right)^2+2}\le\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow C=2-\frac{3}{\left(x-1\right)^2+2}\ge2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)
:33
cho f(x) là đa thức bậc 5 hệ số nguyên biết f(x) nhận 1945 với 4 giá trị nguyên của x .Chứng minh với mọi x thì f(x) không thể có giá trị là 1995
cho đa thức f(x) = a.x^3 + b.x^2 +c.x + d có giá trị nguyên với mọi x thuộc Z. Chứng tỏ rằng 6a và 2b là các số nguyên
Bài 1: Cho đa thức bậc nhất: f(x) = ax + b và g(x) = bx + a (a và b khác 0). Giả sử đa thức f(x) có nghiệm là x0, tìm nghiệm của đa thức g(x)
Bài 2: Chứng tỏ rằng f(x) = -8x4 + 6x3 - 4x2 + 2x - 1 không có nghiệm nguyên.
Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có giá trị nguyên với mọi x thuộc Z. Chứng tỏ rằng 6a và 2b là các số nguyên
cho đa thức f(x)=\(x\left(\frac{x^{2013}}{3}-\frac{x^{2014}}{5}+\frac{x^{2015}}{7}+\frac{x^2}{2}\right)-\)\(\left(\frac{x^{2014}}{3}-\frac{x^{2015}}{5}+\frac{x^{2016}}{7}+\frac{x^2}{2}\right)\).chứng minh đa thức f(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị x nguyên