a) \(A=\left(x^2-\frac{1}{2}x\right)^2+\frac{3}{4}\left(x+\frac{2}{3}\right)^2+\frac{2}{3}>0\)

Ko biết xét khoảng:v

https://hoc247.net/hoi-dap/toan-8/chung-minh-a-x-10-x-9-x-4-x-1-0-faq392123.html

\(<=>x^5\left(x-1\right)+x^3\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+\frac{3}{4}>0\)

\(<=>x\left(x-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)+\frac{3}{4}>0\)

\(<=>\left(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\left(x^4+x^2+1\right)+\frac{3}{4}>0\)

\(<=>\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\left(x^4+x^2+1\right)-\frac{1}{4}\left(x^4+x^2+1\right)+\frac{3}{4}>0\)

Nhận xét:

\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\left(x^4+x^2+1\right)\ge0\left(1\right)\)

\(\left(x^4+x^2+1\right)\ge1=>-\frac{1}{4}\left(x^4+x^2+1\right)\ge-\frac{1}{4}\)

\(=>-\frac{1}{4}\left(x^4+x^2+1\right)+\frac{3}{4}\ge\frac{1}{2}\left(2\right)\)

Từ 1 và 2 => Tổng > 0 => ĐPCM

a) Xét hàm số f(x) = tanx − sinx trên nửa khoảng [0; π/2);

x ∈ [0;1/2)

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; π/2)

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tanx – sinx > 0 hay tanx > sinx với mọi x ∈ [0; 1/2)

b) Xét hàm số h(x) trên [0; + ∞ )

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0;  + ∞ ).

Vì h(x) = 0 nên

Hay

Xét hàm số trên f(x) trên [0;  + ∞ );

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0;  + ∞ ) nên g(x) ≥ 0, tức là f′(x) ≥ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Với mọi 0 < x <  + ∞ .

Ta có:

(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+9=(x²-7x+6)(x²-7x+12)+9 

Đặt x²-7x+6=y

<=>y(y+6)+9=y²+6y+9=(y+3)² lớn hơn hoặc bàng 0

Xét hàm số y = f(x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)

Ta có: y’ =  > 0 với ∀ x ∈ R.

⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2)

⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0

hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2)

⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).