đặt f(x) = x³ + ax + b.

f(x) chia cho x + 1 dư 7 nên f(-1) = 7 hay -a + b - 1 = 7.

f(x) chia x - 3 dư -5 nên f(3) = -5 hay 3a + b + 27 = -5.

giải hệ trên tìm được a và b.
 

Đặt $f(x)=x^3+ax+b$. Theo định lý Bezout về dư trong đa thức thì số dư của $f(x)$ cho $x-a$ chính là $f(a)$. Do đó:

\(\left\{\begin{matrix} f(-1)=-1-a+b=7\\ f(3)=27+3a+b=5\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{-15}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vì \(a,b\not\in \mathbb{Z}\Rightarrow \) bài toán đúng với TH $x$ chẵn.

Đặt . Theo định lý Bezout về dư trong đa thức thì số dư của cho chính là . Do đó:

Gọi thương của phép chia  \(x^3+ax+b\)   cho  \(x+1\)là   \(A\left(x\right)\);   cho  \(x-2\)là     \(B\left(x\right)\)

Ta có:    \(f\left(x\right)=x^3+ax+b=\left(x+1\right).A\left(x\right)+7\)

             \(f\left(x\right)=x^3+ax+b=\left(x-2\right).B\left(x\right)+4\)

Theo định lý  Bơ-du ta có:

          \(f\left(-1\right)=-1-a+b=7\)

        \(f\left(2\right)=8+2a+b=4\)

suy ra:   \(a=-4;\)   \(b=4\)

Vậy...