\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2b+5\ge2ab+4a\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2+2b+1+a^2-4a+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(a-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" ko xảy ra nên BĐT đã cho sai, BĐT đúng chỉ là ">", ko có "\(\ge\)"

`a) 2 ( a^2 + b^2 ) >= ( a + b )^2`

`<=> 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + 2ab + b^2`

`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`

`<=> ( a - b )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b`)

     `=>` Đẳng thức được c/m

_________________________________________

`b) a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`

`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ca`

`<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + c^2 ) + ( c^2 - 2ca + a^2 ) >= 0`

`<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b,c`)

         `=>` Đẳng thức được c/m

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)

Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)

Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)

và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)

Xét BĐT phụ:  \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)

Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))

Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)

\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a²+b²+c²\(\ge\)2a(b+c)

Chứng minh:

Ta có 2a²+b²+c²=(a²+b²)+(a²+c²)

Áp dụng bđt cauchy ta có

(a²+b²)+(a²+c²)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)

Đặt vế trái của bất đẳng thức là \(K\)

Với x, y, z > 0, ta có: \(yz\le\frac{\left(y+z\right)^2}{4}< \frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}=\frac{9}{4}\Rightarrow4-yz>0\)

Tương tự ta cũng có \(4-zx>0,4-xy>0\)

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành \(\frac{x^2+y^2+x^2+z^2}{xyz\left(4-yz\right)}+\frac{x^2+y^2+y^2+z^2}{xyz\left(4-zx\right)}+\frac{z^2+y^2+x^2+z^2}{xyz\left(4-xy\right)}\ge4\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(K\ge\frac{2xy+2xz}{xyz\left(4-yz\right)}+\frac{2xy+2yz}{xyz\left(4-zx\right)}+\frac{2xz+2yz}{xyz\left(4-xy\right)}\)\(=2\left[\frac{y+z}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{z+x}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{x+y}{xy\left(4-xy\right)}\right]\)\(=2\left[\frac{1}{z\left(4-yz\right)}+\frac{1}{x\left(4-zx\right)}+\frac{1}{y\left(4-xy\right)}\right]+\)      \(2\left[\frac{1}{y\left(4-yz\right)}+\frac{1}{z\left(4-zx\right)}+\frac{1}{x\left(4-xy\right)}\right]\) 

Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ ba số dương, ta có\(\frac{1}{z\left(4-yz\right)}+\frac{1}{x\left(4-zx\right)}+\frac{1}{y\left(4-xy\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

\(\frac{1}{y\left(4-yz\right)}+\frac{1}{z\left(4-zx\right)}+\frac{1}{x\left(4-xy\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

Do đó \(K\ge\frac{12}{\sqrt[3]{xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}=\frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}}\)

Mặt khác ta lại có: \(3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)\le\left(\frac{3xyz+12-xy-yz-zx}{4}\right)^4\)

Ta có bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=3\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}\ge3\)\(\Leftrightarrow3xyz-xy-yz-zx\le0\)

Suy ra \(3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)\le3^4=81\) \(\Rightarrow\sqrt[3]{3xyz\left(4-yz\right)\left(4-zx\right)\left(4-xy\right)}\le3\sqrt[3]{3}\)

Do đó \(K\ge\frac{12\sqrt[3]{3}}{3\sqrt[3]{3}}=4\)

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

nhân 2 cả 2 vế lên r biến đổi tương đương

1) Trước hết ta sẽ chứng minh BĐT với 2 số

Với x,y,z,t > 0 ta luôn có: \(\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{t}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{x^2t+z^2y}{yt}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\Leftrightarrow\left(x^2t+z^2y\right)\left(y+t\right)\ge yt\left(x+z\right)^2\)

(Biến đổi tương đương)

Khi bất đẳng thức trên đúng ta sẽ CM như sau:

\(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\alpha+\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}\)

_a2_-2a+1+4b2_-12b+9+3c2_-6c+3+1>0

⇔(a−1)2+(2b−3)2+3(c−1)2+1>0 (luôn đúng)

$\Rightarrow$ BĐT ban đầu đúng

Chừa 1 suất cho mik.  7h mik về

Làm đại luôn mặc dù chưa xong xD. Có sai sót gì cho xin lỗi nha!

Đặt: \(M=\frac{a^2+bc}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2+ca}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^2+ab}{\left(a+b\right)^2}\)

\(M=\frac{\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}{\frac{1}{a^2+bc}}+\frac{\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}{\frac{1}{b^2+ca}}+\frac{\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}{\frac{1}{c^2+ab}}\)

Áp dụng Bđt AM-GM dạng Engel:

\(M\ge\frac{\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)^2}{\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}}\)

Chuẩn hóa: \(a+b+c=3\)

Có: \(A=\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)^2\ge\left(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2\)

CM:\(B=\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{3}{2}\)so what ? Tới đây k biết làm. 

Sẵn bạn kiểm xem sai chỗ nào