Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Hoàng Dung
Xem chi tiết
tth_new
17 tháng 6 2019 lúc 9:33

Ta có:\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\) (Áp dụng BĐT AM-GM)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được đpcm.

Nguyễn khải
Xem chi tiết
Thanh Tùng DZ
28 tháng 4 2020 lúc 16:09

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :

\(\left(a^2+2\right)\left[1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2}\le\frac{1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự : \(\frac{1}{b^2+2}\le\frac{1+\frac{\left(a+c\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\) ; \(\frac{1}{c^2+2}\le\frac{1+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Cộng vế theo vế,ta có :

\(\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\le\frac{3+\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(=\frac{3+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Khách vãng lai đã xóa
Tran Le Khanh Linh
28 tháng 4 2020 lúc 19:46

Đặt \(P=\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\)

Thực hiện phép biến đổi theo biểu thức P ta được

\(Q=3-2P=\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{a^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\)

 Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(Q\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=1\)

\(\Rightarrow P\le1\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Mạnh Dũng
28 tháng 4 2020 lúc 16:21

tui chưa học bạn thông cảm

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Hưng Phát
Xem chi tiết
trần xuân quyến
Xem chi tiết
LUU HA
Xem chi tiết
Xyz OLM
8 tháng 2 2021 lúc 16:43

Ta có : \(\frac{a^2-bc}{a}+\frac{b^2-ac}{b}+\frac{c^2-ab}{c}=0\)

=> \(a-\frac{bc}{a}+b-\frac{ac}{b}+c-\frac{ab}{c}=0\)

=> \(a+b+c=\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\)

=> \(a+b+c=abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

=> \(\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

=> \(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

=> \(\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{ab}=\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}\)

=> \(\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}-\frac{2}{bc}-\frac{2}{ac}-\frac{2}{ac}=0\)

=> \(\left(\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\right)+\left(\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ac}+\frac{1}{c^2}\right)+\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{bc}+\frac{1}{c^2}\right)=0\)

=> \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{c}\right)^2+\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2=0\)

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=0\\\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=0\\\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\\\frac{1}{a}=\frac{1}{c}\\\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\left(\text{đpcm}\right)\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thị Mát
Xem chi tiết
Kudo Shinichi
3 tháng 11 2019 lúc 16:43

\(VT=\frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\)

Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)

\(\Rightarrow VT=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)

\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng bdt Cauchy ta có :

\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(VT+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)--\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{4}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Chúc bạn học tốt !!!

Khách vãng lai đã xóa
Đặng Phương Nga
Xem chi tiết
Kudo Shinichi
12 tháng 10 2019 lúc 21:43

\(VT=\frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\)

Xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)

\(\Rightarrow VT=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)

\(\Leftrightarrow VT=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

\(VT+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{4}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Chúc bạn học tốt !!!

Cố gắng hơn nữa
Xem chi tiết
Pham Quoc Cuong
11 tháng 5 2018 lúc 22:44

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\right)\ge\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2\)

Mà \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{abc+bc+b}=\frac{1}{b+1+bc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{1+bc+1}=1\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\right)\left(a+b+c\right)\ge1\) 

\(\Rightarrow\frac{a}{\left(ab+b+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ac+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\)

Despacito
11 tháng 5 2018 lúc 22:45

\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ac+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\)

ta có  \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)

\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}=1\)

đặt \(H=\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ac+c+1\right)^2}\)

áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki  ta có 

\(H\left(a+b+c\right)\ge\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow H\ge\frac{1}{a+b+c}\)

hay  \(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ac+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\)

Phạm Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Hatsune Miku
6 tháng 4 2018 lúc 19:20

Cho mk k nhé!

4/1x3x5 = 1/1x3 - 1/3x5
4/3x5x7 = 1/3x5 - 1/5x7
.............
A = 1/1x3 - 1/11x13

1/1x3x5 = 1/4 x (1/1x3 - 1/3x5)
1/3x5x7 = 1/4 x (1/3x5 - 1/5x7)
..........
B = 1/4 x (1/1x3 - 1/11x13)