a, Vì MA ; MB là tiếp tuyến đường tròn (O) với A;B là tiếp điểm 

=> ^OAM = ^OBM = 90⁰

Xét tứ giác AMBO có : 

^OAM + ^OBM = 180⁰

mà 2 góc này đối 

Vậy tứ giác AMBO là tứ giác nt 1 đường tròn (1) 

Xét tứ giác OHMB có : 

^OHM + ^MBO = 180⁰ 

mà 2 góc này đối 

Vậy tứ giác OHMB là tứ giác nt 1 đường tròn (2) 

mà 2 tứ giác cùng chứa tam giác OBM (3) 

Từ (1) ; (2) ; (3) vậy O;A;B;H;M cùng nằm trên 1 đường tròn 

a) Tứ giác MPOQ có góc MPO = góc MQO = 90⁰ => MPOQ nội tiếp => góc PMO = góc PQO (1)

Tứ giác MPOH có MPO = góc MHO = 900 => MPOH nội tiếp => góc PMO = góc PHỐ (2) 

Từ (1) và (2) => góc PQO = góc PHO => OPHQ nội tiếp

b) Tam giác IOQ và tam giác IPH có góc OIQ = góc PIH (đđ); góc Q = góc H nên chúng đồng dạng 

=> IO/IP = IQ/IH => đpcm

c) Ta có OM là đường trung trực của PQ (vì OP =OQ ; MP = MQ) => OM vuông góc PQ tại K

Tam giác vuông OKI và tam giác vuông OHM có góc O chung nên đồng dạng => OK/OH = OI/OM

=> OK.OM = OI.OH (3)

Ta lại có tam giác OPM vuông tại P có PK là đường cao => OK.OM = OP² (4)

Từ (3) và (4) => OI.OH = OP². Mà OP, OH không đổi, nên OI không đổi . vậy I là điểm cố định

từ cmt IP.IQ = IO.IH suy ra IP.IQ không đổi

4,75 giờ là đúng

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc AMB và MA=MB

MO là phân giác của góc AMB

=>\(\widehat{AMO}=\dfrac{\widehat{AMB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

Xét ΔOAM vuông tại A có \(tanAMO=\dfrac{OA}{AM}\)

=>\(\dfrac{6}{AM}=tan30=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

=>\(AM=6\cdot\dfrac{3}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)

nên ΔMAB đều

=>\(\widehat{MBA}=60^0\)

Gọi bán kính đường tròn nội tiếp ΔMAB là d

Diện tích tam giác MBA là:

\(S_{MBA}=\dfrac{1}{2}\cdot MA\cdot MB\cdot sinAMB\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot6\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}\cdot sin60=27\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

Nửa chu vi tam giác MBA là:

\(p=\dfrac{6\sqrt{3}+6\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔMBA có \(S_{MBA}=p\cdot d\)

=>\(d=\dfrac{27\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=9\left(cm\right)\)

a) Ta thấy OM là trung trực của PQ => OM vuông góc PQ => ^OKI = ^OHM = 90⁰

=> \(\Delta\)OKI ~ \(\Delta\)OHM (g.g) => OH.OI = OK.OM (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: OH.OI = OK.OM = OP² = R²

Vì d,O đều cố định nên khoẳng cách từ O tới d không đổi hay OH không đổi

Vậy \(OI=\frac{R^2}{OH}=const\). Mà tia OI cố định nên I cố định (đpcm).

Bài 4:

a: 

Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

=>ΔCED vuông tại E

ΔOEF cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của EF

Xét tứ giác CEMF có

I là trung điểm chung của CM và EF

CM vuông góc EF

=>CEMF là hình thoi

=>CE//MF

=<MF vuông góc ED(1)

Xét (O') có

ΔMPD nội tiêp

MD là đường kính

=>ΔMPD vuông tại P

=>MP vuông góc ED(2)

Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng

b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM

=góc IEM+góc O'MP

=góc IEM+góc FMI=90 độ

=>IP là tiếp tuyến của (O')