làm ra vở lười viết trên đây 

a: Ta có: BC=DA(BADC là hình bình hành)

\(MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

\(NA=ND=\dfrac{AD}{2}\)(N là trung điểm của AD)

Do đó: MB=MC=NA=ND

Xét tứ giác ABMN có

BM//AN

BM=AN

Do đó: ABMN là hình bình hành

b: Hình bình hành ABMN có BA=BM(=BC/2)

nên ABMN là hình thoi

c: Ta có: MB//AD

=>\(\widehat{EBM}=\widehat{EAD}\)(hai góc đồng vị)

mà \(\widehat{EAD}=60^0\)

nên \(\widehat{EBM}=60^0\)

Ta có: BA=BE

BA=BM(=BC/2)

Do đó: BE=BM

Xét ΔBEM có BE=BM và \(\widehat{EBM}=60^0\)

nên ΔBEM đều

=>\(\widehat{BEM}=60^0\)

Xét tứ giác ANME có NM//AE(ABMN là hình thoi)

nên ANME là hình thang

Hình thang ANME(NM//AE) có \(\widehat{MEA}=\widehat{A}\left(=60^0\right)\)

nên ANME là hình thang cân

=>AM=NE

Sửa đề: F là hình chiếu của E trên AC

a: Xét ΔCAB có

E là trung điểm của CB

EF//AB

=>F là trung điểm của AC

Xét ΔCAB có

E là trung điểm của CB

ED//AC

=>D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có EF//AB

nên EF/Ab=CE/CB=1/2

=>EF=1/2AB=DB

Xét tứ giác BDFE có

FE//BD

FE=BD

=>BDFE là hình bình hành

b: Xét ΔABC có AD/AB=AF/AC

nên DF//BC

=>DF//EH

ΔHAC vuông tại H có HF là trung tuyến

nên HF=AC/2

=>HF=ED
Xét tứ giác EHDF có

EH//DF

ED=HF

=>EHDF là hình thang cân

c: Xét tứ giác ABCN có

F là trung điểm chung của AC và BN

=>ABCN là hình bình hành

=>AN//CB

Xét tứ giác AMCE có

F là trung điểm chung của AC và ME

=>AMCE là hình bình hành

=>AM//CE

=>AM//CB

mà AN//CB

nên A,N,M thẳng hàng

a: Xét ΔABF vuông tại B và ΔADE vuông tại D có

AB=AD

BF=DE

Do đó: ΔABF=ΔADE

=>\(\widehat{BAF}=\widehat{DAE}\)

mà \(\widehat{DAE}+\widehat{EAB}=90^0\)

nên \(\widehat{BAF}+\widehat{BAE}=90^0\)

=>\(\widehat{FAE}=90^0\)

Ta có: ΔABF=ΔADE
=>AF=AE

Xét ΔAFE có AF=AE và \(\widehat{FAE}=90^0\)

nên ΔAFE vuông cân tại A

b: Bạn ghi lại đề đi bạn

xét tam giác ADF vuông tại D

tam giác BAE vuông tại A

có AB = AD ( t/c Hvuông)

AE = DF ( GT)

=> \(\Delta ADF=\Delta BAE\) ( 2cgv)

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{A_1}\) (2 góc t/ư)

b) có AB // CD (t/c Hvuông)

=> \(\widehat{A_2}=\widehat{AFD}\) (2 góc SLT)

tam giác ADF có \(\widehat{D}=90^0\)=>\(\widehat{A_1}+\widehat{AFD}=90^0\)

mà \(\widehat{B_1}=\widehat{A_1},\widehat{A_2}=\widehat{AFD}\) (cmt)

=>\(\widehat{A_2}+\widehat{B_1}=90^0\)

tam giác ABO có \(\widehat{A_2}+\widehat{B_1}+\widehat{AOB}=180^0\) (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

=>\(\widehat{AOB}=180^0-90^0=90^0\)

=> AF vuông góc vs OB

hay AF vuông góc vs EB (1)

có MN là đường trung bình của tam giác EBF(vì M là trug điểm EF, N là trung điểm BF) => MN // EB (2)

từ (1) và (2) => MN vuông góc vs AF