Để chứng minh phân số tối giản, ta đặt ƯCLN của tử số và mẫu số là d

Từ đề bài ta có :  \(2n+2⋮d\) và \(2n+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d\Leftrightarrow\left(2n+2-2n-1\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-2n\right)+\left(2-1\right)⋮d\Leftrightarrow\left(0+1\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

Vì ƯCLN của tử số và mẫu số là 1 nên hai số nguyên tố cùng nhau.

Hay \(\frac{2n+2}{2n+1}\) là phân số tối giản

cíu 

Gọi d=UCLN(2n+1;3n+2)

\(\Leftrightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow-1⋮d\)

=>d=1

=>UCLN(2n+1;3n+2)=1

=>2n+1/3n+2 là phân số tối giản

Gọi d=ƯCLN(2n+3;4n+8)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4n+8⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4n+8⋮d\\4n+6⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow4n+8-4n-6⋮d\)

=>\(2⋮d\)

mà 2n+3 lẻ

nên d=1

=>ƯCLN(2n+3;4n+8)=1

=>\(P=\dfrac{2n+3}{4n+8}\) là phân số tối giản với mọi n<>-2

gọi ( n³ + 2n ; n⁴ + 3n² + 1 ) = d

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n^4+2n^2⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}\Leftrightarrow n^2+1⋮d}\)

Mà n⁴ + 3n² + 1 \(⋮\)d

= n⁴ + 2n² + n² + 1

= ( n⁴ + 2n² + 1 ) + n² 

= ( n² + 1 ) ² + n² \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)n² \(⋮\)d

\(\Leftrightarrow\)1 \(⋮\)d

Tham khảo nha bạn! Mình không có thời gian!

Link:

tth 

Đs

Gọi a là ước chung của n^3 +2n và n^4 + 3n^2 + 1

n^3 + 2n chia hết cho a => n(n^3 + 2n) chia hết cho a = > n^4 + 2n^2 chia hết cho a (1)

n^4 + 3n^2 + 1 - (n^4 + 2n^2 )= n^2 +1 chia hết cho a = > (n^2 + 1) ^ 2 = n^4 + 2n^2 + 1  chia hết cho d (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

(n^4 + 2n^2 + 1) - (n^4 + 2n ^2 ) chia hết cho a = > 1 chia hết cho a = > a = + - 1

Vậy phân số trên tối giản vì mẫu tử có ước chung là n + 1

Gọi ước chung lớn nhất của n - 5 và 3n - 14 là d, ta có

3 ( n - 5) - ( 3n - 14)= -1 chia hết cho d

=> d = -1 hoặc 1, do đó n - 5 và 3n - 14  là nguyên tố cùng nhau

vậy n - 5/3n - 14 là phân số tối giản

123456789q

a/

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 2n+3)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow 2n+3-2(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$
Vậy $\frac{n+1}{2n+3}$ là phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$

b/

Cho $a=2, b=2$ thì phân số đã cho bằng $\frac{24}{26}$ không là phân số tối giản bạn nhé. 

Bạn xem lại đề.